Question

Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點E為△ABC外一點，且∠CEA=45°．
求證：AE⊥BE．

Answer 1

證明：過C點作CF⊥CE交EA的延長線于F，
∵∠CEA=45°，
∴∠F=∠CEA=45°，
∴CF=CE，
∵∠FAC+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠FCA=∠ECB，
在△FCA和△ECB中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴∠BEC=∠F=45°，
∴∠AEB=∠AEC+∠BEC=90°，
即AE⊥BE．
分析：首先過C點作CF⊥CE交EA的延長線于F，易證得△ACF≌△BCE（SAS），即可得∠BEC=∠F=45°，繼而證得AE⊥BE．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．