Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于M、N兩點(diǎn)．
（1）利用圖中條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△MOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)都求出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式可求出k的值，將M和N的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，聯(lián)立求解可得出一次函數(shù)的解析式．
（2）尋找反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象之上的x的取值范圍即可．
（3）分兩種情況進(jìn)行尋找，①當(dāng)OM為腰時(shí)，②當(dāng)OM為底時(shí)，這樣即可尋找出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=

k

x

圖象過點(diǎn)N（-1，-4），M（2，m），
∴k=（-1）×（-4）=4，m=

k

2

=

4

2

=2，
將點(diǎn)M、N的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax+b中，
可得

2a+b=2 -a+b=-4

，
解得

a=2 b=-2

，
∴一次函數(shù)的解析式為y=2x-2，反比例函數(shù)的解析式為y=

4

x

；

（2）根據(jù)圖象可得當(dāng)0＜x＜2或x＜-1時(shí)，反比例函數(shù)y=

4

x

的值大于一次函數(shù)y=2x-2的值；

（3）OM=

22+22

=2

2

，OM與x軸的夾角為45°，
①當(dāng)OM為腰時(shí)，由OM=OP得P₁（2

2

，0），P₂（-2

2

，0）；由OM=MP得，P₃（4，0）；
②當(dāng)OM為底時(shí)，得P₄（2，0）；
∴符合條件的有4個(gè)，分別為：P₁（2

2

，0），P₂（-2

2

，0），P₃（4，0），P₄（2，0）．

點(diǎn)評：此題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及等腰三角形的知識，綜合性較強(qiáng)，解答本題的關(guān)鍵是正確確定兩函數(shù)的解析式，要求我們能根據(jù)函數(shù)圖象判斷該函數(shù)值的大小，難度較大．