Question

如圖，將一個等腰直角三角形按圖示方式依次翻折，若DE=a，則下列說法中正確的個數(shù)有（　�。�
①DC′平分∠BDE；②BC長為（

2

+2）a；③△BC′D是等腰三角形；④△CED的周長等于BC的長．

• A、4個
• B、3個
• C、2個
• D、1個

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=AC=

2

2

BC，∠ABC=∠C=45°，由于Rt△ABD折疊得到Rt△EBD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠DBE=

1

2

∠ABC=22.5°，DE=AD=a，∠DEB=90°，易得∠CDE=45°，DC=

2

a；又由于Rt△DC′E由Rt△DCE折疊得到，則∠C′DE=∠CDE=45°，∠DC′E=45°，可計算出∠BDC′=∠DC′E-∠DBE=22.5°，于是可判斷DC′不平分∠BDE；
②易得AC=AD+DC=a+

2

a，利用BC=

2

AC可得到BC長為（

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+2）a；
③由∠DBC=∠BDC′=22.5°可得到△B C′D是等腰三角形；
④計算△CED的周長為DE+EC+DC=a+a+

2

a=（

2

+2）a，則有△CED的周長等于BC的長．

解答：解：∵∠BDC′=22.5°，∠C′DE=45°，
∴∠BDC′≠∠C′DE，即DC′不平分∠BDE，
故①錯誤；
根據(jù)折疊的性質(zhì)知，△C′ED≌△CED，且都是等腰直角三角形，
∴∠DC′E=∠DCE=45°，C′E=CE=DE=AD=a，
CD=DC′=

2

a，
∴AC=a+

2

a，BC=

2

AC=（

2

+2）a，
故②正確；
∵∠ABC=2∠DBC，
∴∠DBC=22.5°，∠DC′C=∠DBC′+∠BDC′，
∴∠DBC′=∠BDC′=22.5°，
∴BC′=DC′，即△BC′D是等腰三角形，
故③正確；
∵△CED的周長=DE+EC+DC=a+a+

2

a=（

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+2）a，BC=（

2

+2）a，
∴△CED的周長等于BC的長，
故④正確．
故選B．

點評：本題考查了翻折變換（折疊問題）：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等，同時考查了等腰直角三角形，三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，等角對等邊等知識．