Question

如圖，在平面直角坐標系內，⊙C與y軸相切于D點，與x軸相交于A（2，0）、B（8，0）兩點，圓心C在第四象限.

⑴ 求點C的坐標；

⑵ 連結BC并延長交⊙C于另一點E，若線段BE上有一點P，使得AB²＝BP·BE，能否推出AP⊥BE？請給出你的結論，并說明理由；

⑶ 在直線BE上是否存在點Q，使得AQ²＝BQ·EQ？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，也請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）C（5，-4）（2）能，理由見解析（3）Q₁(5, -4) Q₂（5.84，-2.88）Q₃（，）

【解析】解： ⑴ C（5，-4）；(過程1分，縱、橫坐標答對各得1分)     ………… 3分  

⑵ 能            …………………………………4分

 連結AE ，∵BE是⊙O的直徑， ∴∠BAE=90°.       …………5分

在△ABE與△PBA中，AB²＝BP· BE , 即, 又∠ABE=∠PBA,

∴△ABE∽△PBA .              ……………………………………7分

∴∠BPA=∠BAE=90°,  即AP⊥BE .          …………………8分

⑶ 分析：假設在直線EB上存在點Q，使AQ²＝BQ· EQ. Q點位置有三種情況：

①若三條線段有兩條等長，則三條均等長,于是容易知點C即點Q；

②若無兩條等長，且點Q在線段EB上，由Rt△EBA中的射影定理知點Q即為AQ⊥EB之垂足；

③若無兩條等長，且當點Q在線段EB外，由條件想到切割線定理，知QA切⊙C于點A.設Q(),并過點Q作QR⊥x軸于點R,由相似三角形性質、切割線定理、勾股定理、三角函數或直線解析式等可得多種解法.

解題過程：

① 當點Q₁與C重合時，AQ₁=Q₁B=Q₁E, 顯然有AQ₁²＝BQ₁· EQ₁ ,

∴Q₁(5, -4)符合題意；             ……………………………9分

② 當Q₂點在線段EB上， ∵△ABE中，∠BAE=90°

∴點Q₂為AQ₂在BE上的垂足，           ……………………10分

∴AQ₂== 4.8（或）.

∴Q₂點的橫坐標是2+ AQ₂·∠BAQ₂= 2+3.84=5.84,

又由AQ₂·∠BAQ₂=2.88,

∴點Q₂（5.84，-2.88）,          ………………………11分

③方法一：若符合題意的點Q₃在線段EB外,

則可得點Q₃為過點A的⊙C的切線與直線BE在第一象限的交點.

由Rt△Q₃BR∽Rt△EBA，△EBA的三邊長分別為6、8、10,

故不妨設BR=3t，RQ₃=4t，BQ₃=5t,           ……………………12分

由Rt△ARQ₃∽Rt△EAB得，       ………………………13分

即得t=，

〖注:此處也可由列得方程； 或由AQ₃² = Q₃B·Q₃E=Q₃R²+AR²列得方程)等等〗

∴Q₃點的橫坐標為8+3t=， Q₃點的縱坐標為，

即Q₃（，） .          …………14分

方法二：如上所設與添輔助線, 直線 BE過B(8, 0), C(5, -4), 

∴直線BE的解析式是 .            ………………12分

設Q₃（，）,過點Q₃作Q₃R⊥x軸于點R,

∵易證∠Q₃AR =∠AEB得 Rt△AQ₃R∽Rt△EAB, 

∴ ,  即   ,        ………………13分

∴t= ,進而點Q₃ 的縱坐標為，∴Q₃（，）.   ………14分

方法三：若符合題意的點Q₃在線段EB外,連結Q₃A并延長交軸于F,

        ∴∠Q₃AB =∠Q₃EA，,

        在R t△OAF中有OF=2×=，點F的坐標為（0，）,

∴可得直線AF的解析式為 ,          …………………12分

又直線BE的解析式是 ,             ………………13分

∴可得交點Q₃（，）.              ……………………14分

 (1) 根據切割線定理求OD，,即可求得C的縱坐標，由圖即可求得C的橫坐標

(2)連結AE，通過AB²＝BP· BE，求得△ABE∽△PBA， 因為BE是⊙O的直徑， 所以∠BAE=90°，從而求得AP⊥BE

⑶假設在直線EB上存在點Q，使AQ²＝BQ· EQ. Q點位置有三種情況：①若三條線段有兩條等長，則三條均等長,于是容易知點C即點Q；②若無兩條等長，且點Q在線段EB上，由Rt△EBA中的射影定理知點Q即為AQ⊥EB之垂足；③若無兩條等長，且當點Q在線段EB外，由條件想到切割線定理，知QA切⊙C于點A.設Q(),并過點Q作QR⊥x軸于點R,由相似三角形性質、切割線定理、勾股定理、三角函數或直線解析式等可得多種解法.