Question

如圖，AB，BC分別是⊙O的直徑和弦，點D為

BC

上一點，弦，DE交⊙O點E，交AB于點F，交BC于點G，過點C的切線交ED的延長線于點H，且HC=HG，連接BH，交⊙O于點M，連接MD，ME．
（1）求證：點B為弧DE的中點；
（2）求證：∠HMD=∠MHE+∠MEH；
（3）若HC=3BG，⊙O的半徑為4，tan∠ABC=

3

4

，求HC和DG的長度．

Answer 1

考點：圓的綜合題,三角形的外角性質,等腰三角形的性質,勾股定理,相似三角形的判定與性質

專題：綜合題

分析：（1）連接OC，如圖1，根據切線的性質可得∠OCH=90°，要證點B為弧DE的中點，根據垂徑定理只需證明∠BFG=∠OCH=90°即可；
（2）連接BE，如圖2，要證∠HMD=∠MHE+∠MEH，只需證∠HMD=∠BME，根據圓內接四邊形的性質可得∠HMD=∠BED，只需證到∠BED=∠BME即可；
（3）作HN⊥BC于點N，連接AC、OD，如圖3．在Rt△BFG中，設FG=3k，則有FB=4k，BG=5k，HG=HC=3BG=15k．易證△HNG∽△BFG，根據相似三角形的性質可求得GN=9k．由HG=HC，HN⊥GC可得CN=GN=9k，從而可得BC=23k，進而得到AB=

5

4

BC=

115

4

k，根據⊙O的半徑為4可求出k，從而可求出FG、BF、HC、OF，在Rt△DFO中，運用勾股定理可求出DF，就可求出DG的值．

解答：證明：（1）連接OC，如圖1，

∵HC=HG，
∴∠HCG=∠HGC；
∵HC切⊙O于C點，
∴∠OCB+∠HCG=90°；
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠HGC=∠BGF，
∴∠OBC+∠BGF=90°，
∴∠BFG=90°，即DE⊥AB；
∵AB是直徑，
∴點B為弧DE的中點；

（2）連接BE，

由（1）知

BD

=

BE

，
∴∠BED=∠BME；
∵四邊形BMDE內接于⊙O，
∴∠HMD=∠BED，
∴∠HMD=∠BME；
∵∠BME是△HEM的外角，
∴∠BME=∠MHE+∠MEH，
∴∠HMD=∠MHE+∠MEH；

（3）作HN⊥BC于點N，連接AC、OD，如圖3．

則有∠HNG=90°．
在Rt△BFG中，
tan∠FBG=

FG

FB

=

3

4

．
設FG=3k，則FB=4k，
∴BG=

FG2+BF2

=5k，
∴HG=HC=3BG=15k．
∵∠HNG=∠BFG=90°，∠HGN=∠BGF，
∴△HNG∽△BFG，
∴

GN

GF

=

GH

BG

，
∴

GN

3k

=

15k

5k

，
∴GN=9k．
∵HG=HC，HN⊥GC，
∴CN=GN=9k，
∴BC=BG+GN+NC=5k+9k+9k=23k．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴tan∠ABC=

AC

BC

=

3

4

，
∴AC=

3

4

BC，
∴AB=

AC2+BC2

=

5

4

BC=

115

4

k．
∵⊙O的半徑為4，
∴

115

4

k=8，
∴k=

32

115

，
∴FG=3k=

96

115

，BF=4k=

128

115

，HC=15k=

96

23

，
∴OF=OB-BF=4-

128

115

=

332

115

．
在Rt△DFO中，
DF=

OD2-OF2

=

42-( 332 115 )2

=

96 11

115

，
∴DG=DF-GF=

96 11

115

-

96

115

=

96 11 -96

115

．
∴HC的長度為

96

23

，DG的長度為

96 11 -96

115

．

點評：本題主要考查了切線的性質、垂徑定理、圓周角定理、內接四邊形的性質、等腰三角形的性質、三角函數、勾股定理、相似三角形的判定與性質、三角形的外角性質等知識，綜合性比較強，有一定的難度；設FG=3k，然后利用三角函數、相似三角形的性質、等腰三角形的性質等知識求出BC（用k的式子表示）是解決第（3）小題的關鍵．