Question

已知方程x²-（2k-1）x+k-4=0，實數(shù)k分別取何值時：
（1）兩實根異號，且正根的絕對值較大；
（2）一個根大于3，另一個根小于3．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實根，則判別式△＞0，并且正根的絕對值較大，則兩根的和大于0，且兩根的積小于0，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得到關(guān)于k的不等式組，即可求得k的范圍；
（2）設(shè)方程的兩個根分別是x₁、x₂，根據(jù)題意，得（x₁-3）（x₂-3）＜0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求得k的取值范圍，再根據(jù)△＞0確定k的范圍．

解答：解：方程x²-（2k-1）x+k-4=0的根的判別式為：△=[-（2k-1）]²-4（k-4），
整理，得4（k-1）²+13＞0．
則k取任意實數(shù)．
（1）設(shè)方程的兩個根為x₁、x₂，則：
∵兩實根異號，且正根的絕對值較大，
∴x₁+x₂=2k-3＞0，且x₁x₂=2k-4＜0，
解得：

3

2

＜k＜2，
所以k的取值范圍是

3

2

＜k＜2；

（2）設(shè)方程的兩個根為x₁、x₂，則：
x₁+x₂=2k-3＞0，且x₁x₂=2k-4＜0
∵一個根大于3，另一個根小于3
∴（x₁-3）（x₂-3）＜0
x₁•x₂-3（x₁+x₂）+9=2k-4-6k+9+9＜0，即：-4k+14＜0．
解得 k＞

7

2

故k的取值范圍為：k＞

7

2

．

點評：此題主要是一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系的運用，在已知方程的一根x₁比常數(shù)a大，一根x₂比常數(shù)a小的時候，可列（x₁-a）（x₂-a）＜0的不等式分析求解．