Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以點(diǎn)A（0，-3）為圓心，5為半徑作圓A，交x軸于B，C兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，E兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)B，C，D的坐標(biāo)；
（2）如果一個二次函數(shù)圖象經(jīng)過B，C，D三點(diǎn)，求這個二次函數(shù)解析式；
（3）P為x軸正半軸上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作與圓A相離并且與x軸垂直的直線，交上述二次函數(shù)圖象于點(diǎn)F，當(dāng)△CPF中一個內(nèi)角的正切之為

1

2

時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：由題意可知AC=5，OA=3，根據(jù)勾股定理可知，OC=4，可知C點(diǎn)坐標(biāo)，同理求出B點(diǎn)坐標(biāo)，OA=3，AD=5，求出OD=2，求出D點(diǎn)坐標(biāo)．
（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-3），線段AD=5，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)（0，2）．
連接AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，∴OC=4．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）；
同理可得點(diǎn)B坐標(biāo)為（-4，0）．

（2）已知B，C，D三點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出解析式，代入即可求出函數(shù)解析式．
設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
由于該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過B，C，D三點(diǎn)，則

0=16a-4b+c 0=16a+4b+c 2=c

解得

a=- 1 8 b=0 c=2

∴所求的二次函數(shù)的解析式為y=-

1

8

x²+2；

（3）根據(jù)圖象可知，正切為

1

2

，則∠cpf為直角，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后表示出CP，PF的長度，然后分情況討論

PF

CP

=

1

2

還是

CP

PF

=

1

2

，或是兩者都可，求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，0），由題意得t＞5，
且點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，-

1

8

t²+2），PC=t-4，PF=

1

8

t²-2，
∵∠CPF=90°，∴當(dāng)△CPF中一個內(nèi)角的正切值為

1

2

時，
①若

CP

PF

=

1

2

時，即

t-4

1 8 t2-2

=

1

2

，解得t₁=12，t₂=4（舍）；
②當(dāng)

PF

CP

=

1

2

時，

1 8 t2-2

t-4

=

1

2

解得t₁=0（舍），t₂=4（舍），
所以所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（12，0）．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-3），線段AD=5，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)（0，2）．（1分）
連接AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，
∴OC=4．（1分）
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）；（1分）
同理可得點(diǎn)B坐標(biāo)為（-4，0）．（1分）

（2）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
由于該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過B，C，D三點(diǎn)，則

0=16a-4b+c 0=16a+4b+c 2=c

（3分）
解得

a=- 1 8 b=0   c=2

∴所求的二次函數(shù)的解析式為y=-

1

8

x²+2；（1分）

（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，0），由題意得t＞5，（1分）
且點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，-

1

8

t²+2），PC=t-4，PF=

1

8

t²-2，
∵∠CPF=90°，
∴當(dāng)△CPF中一個內(nèi)角的正切值為

1

2

時，
①若

CP

PF

=

1

2

時，即

t-4

1 8 t2-2

=

1

2

，解得t₁=12，t₂=4（舍）；（1分）
②當(dāng)

PF

CP

=

1

2

時，

1 8 t2-2

t-4

=

1

2

解得t₁=0（舍），t₂=4（舍），（1分）
所以所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（12，0）．（1分）

點(diǎn)評：本題旨在考查圓在坐標(biāo)中出現(xiàn)的問題，圓與拋物線交點(diǎn)問題，以及三角形中正切的概念．