Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，以點A（0，-3）為圓心，5為半徑作圓A，交x軸于B，C兩點，交y軸于點D，E兩點．
（1）求點B，C，D的坐標；
（2）如果一個二次函數(shù)圖象經(jīng)過B，C，D三點，求這個二次函數(shù)解析式；
（3）P為x軸正半軸上的一點，過點P作與圓A相離并且與x軸垂直的直線，交上述二次函數(shù)圖象于點F，當△CPF中一個內(nèi)角的正切之為

1

2

時，求點P的坐標．

Answer 1

分析：由題意可知AC=5，OA=3，根據(jù)勾股定理可知，OC=4，可知C點坐標，同理求出B點坐標，OA=3，AD=5，求出OD=2，求出D點坐標．
（1）∵點A的坐標為（0，-3），線段AD=5，∴點D的坐標（0，2）．
連接AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，∴OC=4．
∴點C的坐標為（4，0）；
同理可得點B坐標為（-4，0）．

（2）已知B，C，D三點坐標，設出解析式，代入即可求出函數(shù)解析式．
設所求二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
由于該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過B，C，D三點，則

0=16a-4b+c 0=16a+4b+c 2=c

解得

a=- 1 8 b=0 c=2

∴所求的二次函數(shù)的解析式為y=-

1

8

x²+2；

（3）根據(jù)圖象可知，正切為

1

2

，則∠cpf為直角，設出P點坐標，然后表示出CP，PF的長度，然后分情況討論

PF

CP

=

1

2

還是

CP

PF

=

1

2

，或是兩者都可，求出P點坐標．
設點P坐標為（t，0），由題意得t＞5，
且點F的坐標為（t，-

1

8

t²+2），PC=t-4，PF=

1

8

t²-2，
∵∠CPF=90°，∴當△CPF中一個內(nèi)角的正切值為

1

2

時，
①若

CP

PF

=

1

2

時，即

t-4

1 8 t2-2

=

1

2

，解得t₁=12，t₂=4（舍）；
②當

PF

CP

=

1

2

時，

1 8 t2-2

t-4

=

1

2

解得t₁=0（舍），t₂=4（舍），
所以所求點P的坐標為（12，0）．

解答：解：（1）∵點A的坐標為（0，-3），線段AD=5，
∴點D的坐標（0，2）．（1分）
連接AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，
∴OC=4．（1分）
∴點C的坐標為（4，0）；（1分）
同理可得點B坐標為（-4，0）．（1分）

（2）設所求二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
由于該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過B，C，D三點，則

0=16a-4b+c 0=16a+4b+c 2=c

（3分）
解得

a=- 1 8 b=0   c=2

∴所求的二次函數(shù)的解析式為y=-

1

8

x²+2；（1分）

（3）設點P坐標為（t，0），由題意得t＞5，（1分）
且點F的坐標為（t，-

1

8

t²+2），PC=t-4，PF=

1

8

t²-2，
∵∠CPF=90°，
∴當△CPF中一個內(nèi)角的正切值為

1

2

時，
①若

CP

PF

=

1

2

時，即

t-4

1 8 t2-2

=

1

2

，解得t₁=12，t₂=4（舍）；（1分）
②當

PF

CP

=

1

2

時，

1 8 t2-2

t-4

=

1

2

解得t₁=0（舍），t₂=4（舍），（1分）
所以所求點P的坐標為（12，0）．（1分）

點評：本題旨在考查圓在坐標中出現(xiàn)的問題，圓與拋物線交點問題，以及三角形中正切的概念．