【題目】如圖,在四邊形中,已知,.
(1)求的度數(shù);
(2)求四邊形的面積.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由于∠B=90°,AB=BC=2,利用勾股定理可求AC,并可求∠BAC=45°,而CD=3,DA=1,易得AC2+DA2=CD2,可證△ACD是直角三角形,于是有∠CAD=90°,從而易求∠BAD;
(2)連接AC,則可以計算△ABC的面積,根據(jù)AB、BC可以計算AC的長,根據(jù)AC,AD,CD可以判定△ACD為直角三角形,根據(jù)AD,CD可以計算△ACD的面積,四邊形ABCD的面積為△ABC和△ADC面積之和.
(1)連結(jié)AC,
∵∠B=90°,AB=BC=2,
∴AC=2,∠BAC=45°,
∵AD=1,CD=3,
∴AD2+AC2=12+(2)2=9,CD2=9,
∴AD2+AC2=CD2,
∴△ADC是直角三角形,
∴∠DAC=90°,
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135°.
(2)在 Rt△ABC中,S△ABC=BCAB=×2×2=2,
在 Rt△ADC中,S△ADC=ADAC=×1×2=.
∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=2+.
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【題目】計算題:
(1)(﹣1)23×(π﹣3)0﹣(﹣) ﹣3;
(2)aa2a3+(﹣2a3)2﹣a8÷a2;
(3)(x+4)2﹣(x+2)(x﹣2);
(4)(a+2b﹣3c)(a﹣2b+3c).
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【題目】從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形(如圖1),然后將剩余部分拼成一個長方形(如圖2).
(1)圖1中陰影部分面積為______,圖2中陰影部分面積為_____,對照兩個圖形的面積可以驗證________公式(填公式名稱)請寫出這個乘法公式________.
(2)應用(1)中的公式,完成下列各題:
①已知x2﹣4y2=15,x+2y=3,求x﹣2y的值;
②計算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,點E在邊CD上,將該矩形沿AE折疊,使點D落在邊BC上的點F處,過點F作FG∥CD,交AE于點G,連接DG.
(1)求證:四邊形DEFG為菱形;
(2)若CD=8,CF=4,求的值.
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【題目】如圖,已知∠1和∠2互為補角,∠A=∠D,求證:∠B=∠C.
請在下面的證明過程的括號內(nèi),填寫依據(jù).
證明:∵∠1與∠CGD是對頂角,
∴∠1=∠CGD( )
∵∠1+∠2=180°(已知)
∴∠2+∠CGD=180°(等量代換)
∴AE//FD( )
∴∠AEC=∠D( )
∵∠A=∠D(已知)
∴∠AEC=∠A( )
∴AB//CD( )
∴∠B=∠C( )
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【題目】對任意一個正整數(shù)m,如果m=k(k+1),其中k是正整數(shù),則稱m為“矩數(shù)”,k 為m的最佳拆分點.例如,56=7×(7+1),則56是一個“矩數(shù)”,7為56的最佳拆分點.
(1)求證:若“矩數(shù)”m是3的倍數(shù),則m一定是6的倍數(shù);
(2)把“矩數(shù)”p與“矩數(shù)”q的差記為 D(p,q),其中p>q,D(p,q)>0.例如,20=4×5,6=2×3,則 D(20,6)=20﹣6=14.若“矩數(shù)”p的最佳拆分點為t,“矩數(shù)”q的最佳拆分點為s,當 D(p,q)=30時,求 的最大值.
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【題目】如圖,△ABC面積為1,第一次操作:分別延長AB,BC,CA至點A1,B1,C1,使A1B=AB,B1C=BC,C1A=CA,順次連接A1,B1,C1,得到△A1B1C1.第二次操作:分別延長A1B1,B1C1,C1A1至點A2,B2,C2,使A2B1=A1B1,B2C1=B1C1,C2A1=C1A1,順次連接A2,B2,C2,得到△A2B2C2,…按此規(guī)律,要使得到的三角形的面積超過2019,最少經(jīng)過( )次操作.
A.4B.5C.6D.7
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【題目】推理填空.如圖,已知∠1=∠2,∠B=∠C,可推得AB∥CD,理由如下:
解:因為∠1=∠2(已知),且∠1=∠4( )
所以∠2=∠4(等量代換)
所以CE∥BF( )
所以∠ =∠3( )
又因為∠B=∠C(已知),所以∠3=∠B( )
所以AB∥CD ( )
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