Question

數學課上，老師出示了如下框中的題目．

如圖（1），在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC，試確定線段AE與DB的大小關系，并說明理由．

小敏與同桌小聰談論后，進行了如下回答：
（1）特殊入手，探索結論 如圖（1），當點E為AB的中點時．確定線段AE與DB的大小關系．直接寫出結論：AE

 

DB（填“＞“，“＜“或“=“）
（2）特例啟發(fā)，如圖（2），解答題目判斷AE與DB的大小關系，并證明
（3）拓展結論，設計新題 在等邊三角形ABC中，點E在射線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC．若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長．

Answer 1

考點：等邊三角形的性質,等腰三角形的性質

專題：

分析：（1）當E為中點時，過E作EF∥BC交AC于點F，則可證明△BDE≌△FEC，可得到AE=DB；
（2）類似（1）過E作EF∥BC交AC于點F，可利用AAS證明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再證明△AEF是等邊三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB；
（3）分點E在AB上和在BA的延長線上，類似（2）證得全等，再利用平行得到．

解答：解：（1）如圖1，過點E作EF∥BC，交AC于點F，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF為等邊三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中，

∠EBD=∠EFC ∠EDB=∠FEC ED=EC

，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案為：=；

（2）如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F，

∵△ABC為等邊三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF為等邊三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中，

∠EBD=∠EFC ∠EDB=∠FEC ED=EC

，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案為：=；

（3）因為AE=2，△ABC的邊長為1，所以E點可能在線段AB上，也可能在BA的延長線上，
當點E在AB時，同（2）可知BD=AE=2，則CD=BC+BD=1+2=3，
當點E在BA的延長線上時，如圖3，過點E作EF∥BC，交CA的延長線于點F，

則∠F=∠FCB=∠B=60°，
∠FEC+∠ECD=∠FEC+∠EDC=180°，
∴∠EDB=∠FEC，
且ED=EC，
在△BDE和△FEC中，

∠B=∠F ∠BDE=∠FEC ED=EC

，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴EF=BD，
又∵可判定△AEF為等邊三角形，
∴BD=EF=AE=2，
∴CD=BC+BD=2+1=3，
綜上所述，CD的長度為3．

點評：本題主要考查全等三角形的判定和性質及等邊三角形的性質和判定，利用全等得到BD=EF，再找EF和AE的關系是解題的關鍵．