Question

如圖，AB為⊙O內(nèi)垂直于直徑的弦，AB、CD相于點(diǎn)H，△AED與△AHD關(guān)于直線AD成軸對(duì)稱(chēng)．
（1）試說(shuō)明：AE為⊙O的切線；
（2）延長(zhǎng)AE與CD交于點(diǎn)P，已知PA=2，PD=1，求⊙O的半徑和DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）作輔助線OA構(gòu)建平行線OA∥DE，然后由平行線的性質(zhì)知∠OAP=90°；
（2）設(shè)⊙O的半徑為x．在Rt△AOP中，利用勾股定理知OA²+AP²=OP²，然后將x代入其中，求得x=1.5；再來(lái)根據(jù)△PED∽△PAO的對(duì)應(yīng)邊成比例求得DE的長(zhǎng)度即可．

解答：解：（1）連接OA．
由△AED與△AHD關(guān)于直線AD成軸對(duì)稱(chēng)可知∠ADO=∠ADE，
∵AB⊥CD，
∴∠AED=∠AHD=90°．
又∵OA=OD（圓的半徑），
∴∠OAD=∠ODA（等邊對(duì)等角），
∴∠OAD=∠ADE（等量代換），
∴OA∥DE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
∴∠OAP=90°（兩直線平行，同位角相等），
又∵點(diǎn)A在圓上，
∴AE為⊙O的切線；

（2）設(shè)⊙O的半徑為x，在Rt△AOP中，
OA²+AP²=OP²
x²+2²=（x+1）²（5分）
解得，x=1.5
∴⊙O的半徑為1.5；
∵OA∥DE，
∴△PED∽△PAO
∴

DP

PO

=

DE

AO

，

1

2.5

=

DE

1.5

，
解得DE=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)及垂徑定理．解答該題時(shí)，借助于輔助線OA，將隱含在題干中的條件半徑OA∥DE浮于水面，降低了題的難度．