Question

（1）如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，它們相交于點(diǎn)P，連接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的長是______．

（2）閱讀材料：如圖，過△ABC的三個頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高（h）”．我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．

解答下列問題：
如圖，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C（1，4），交x軸于點(diǎn)A（3，0），交y軸于點(diǎn)B．
①求拋物線和直線AB的解析式；
②點(diǎn)P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點(diǎn)，連接PA，PB，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到頂點(diǎn)C時，求△CAB的鉛垂高CD及S_△CAB；
③點(diǎn)P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)P，使S_△PAB=S_△CAB，若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）連接AC

∵AD=BD，
∴∠ACD=∠ABD=∠DAB
又∵∠ADP=∠CDA
∴△ACD∽△PAD
∴=
∴設(shè)PD=x，則CD=x+6，
=
解得：x=-8或2
所以CD=6+2=8；

（2）解：①設(shè)拋物線的解析式為：y₁=a（x-1）²+4
把A（3，0）代入解析式求得a=-1
所以y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3
設(shè)直線AB的解析式為：y₂=kx+b
求得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）
把A（3，0），B（0，3）代入y₂=kx+b中
解得：k=-1，b=3
所以y₂=-x+3
②因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）
所以當(dāng)x=1時，y₁=4，y₂=2
所以CD=4-2=2
③假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是x，△PAB的鉛垂高為h，
則h=y₁-y₂=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x
由S_△PAB=S_△CAB
得：，化簡得：4x²-12x+9=0
解得，，
將代入y₁=-x²+2x+3中，
解得P點(diǎn)坐標(biāo)為
分析：（1）連接AD，AC，易證△ACD∽△PAD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解；
（2）①已知拋物線的頂點(diǎn)和拋物線上的幾點(diǎn)，即可利用待定系數(shù)法求解析式；
②C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），根據(jù)三角形的面積公式即可求解；
③根據(jù)S_△PAB=S_△CAB即可得到一個關(guān)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的方程，即可求出x的值．進(jìn)而得到P點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．