Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、E（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D，求四邊形AEDB的面積；
（3）△AOB與△DBE是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線與y軸交于點(diǎn)（0，3），

∴設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+3（a≠0）

根據(jù)題意，得 ，

解得 ．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3

（2）

解：如圖，設(shè)該拋物線對稱軸是DF，連接DE、BD．過點(diǎn)B作BG⊥DF于點(diǎn)G．

由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，4）

設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為F

∴四邊形ABDE的面積=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE

= AOBO+ （BO+DF）OF+ EFDF

= ×1×3+ ×（3+4）×1+ ×2×4

=9

（3）

解：相似，如圖，

BD= ；

∴BE=

DE=

∴BD2+BE2=20，DE2=20

即：BD2+BE2=DE2，

所以△BDE是直角三角形

∴∠AOB=∠DBE=90°，且 ，

∴△AOB∽△DBE．

【解析】（1）易得c=3，故設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+3，根據(jù)拋物線所過的三點(diǎn)的坐標(biāo)，可得方程組，解可得a、b的值，即可得解析式；（2）易由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖形間的關(guān)系可得四邊形ABDE的面積=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE ， 代入數(shù)值可得答案；（3）根據(jù)題意，易得∠AOB=∠DBE=90°，且 ，即可判斷出兩三角形相似．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�