精英家教網(wǎng) > 初中數(shù)學(xué) > 題目詳情

請回答： $數(shù)學(xué)公式$ 能否表示為3個互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和？ $數(shù)學(xué)公式$ 能否表示為3個互異的完全平方數(shù)的倒數(shù)的和？如果能，請給出一個例子；如果不能，請說明理由．

解：（1）由于 $\text{[math]}$ ，
故有 $\text{[math]}$ ．
所以， $\text{[math]}$ 能表示為3個互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和（表示法不唯一）．
（2）不妨設(shè)a＜b＜c，
現(xiàn)在的問題就是尋找整數(shù)a，b，c，
滿足 $\text{[math]}$
由a＜b＜c，則有，
從而 $\text{[math]}$ ，
所以a²＜24．又有 $\text{[math]}$ ，
所以a²＞8，故a²=9或16．
若a²=9，則有 $\text{[math]}$ ，
由于 $\text{[math]}$ ，并且 $\text{[math]}$ ，
所以b²＞72，72＜b²＜144．
故b²=81，100或121．將b²=81、100和121分別代入 $\text{[math]}$ ，沒有一個是完全平方數(shù)，
說明當(dāng)a²=9時， $\text{[math]}$ 無解．
若a²=16，則 $\text{[math]}$ ．
類似地，可得：16＜b²＜32，即b²=25，
此時， $\text{[math]}$ 不是整數(shù)．
綜上所述， $\text{[math]}$ 不能表示為3個互異的完全平方數(shù)的倒數(shù)之和．
評分參考：①正確回答第一問給（答案不唯一）；
②能得到a²=9或16，給；
③能分別對a²=9和16討論 $\text{[math]}$ 能否表示為3個互異的完全平方數(shù)的倒數(shù)之和，各給，共；
④對代數(shù)式合理和正確的推導(dǎo)適當(dāng)給分．
特別說明：因為各題的解答未必唯一，上述解答和評分僅供參考．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ 證明即可；
（2）設(shè)a＜b＜c，尋找滿足 $\text{[math]}$ 的整數(shù)．
點評：此題利用分式的混合運算證明，難度較大，需要反復(fù)嘗試．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，一張邊長為20cm正方形硬紙板，把它的四個角都剪去一個邊長為xcm的小正方形，然后把它折成一個無

蓋的長方體，設(shè)長方體的容積為Vcm³，請回答下列問題：
（1）若用含有x的代數(shù)式表示V，則V=

x（20-2x）²

．
（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，填寫下表：

x（cm）	1	2	3	4	5	6	7
V（cm³）	324	512			500	384	252

（3）觀察（2）中表格，容積V的值是否隨x值的增大而增大？此時當(dāng)x取什么整數(shù)值時，容積V的值最大？
（4）課后小英同學(xué)繼續(xù)對這個問題作了以下探究：
當(dāng)x=3.2cm時，V=591.872cm³；當(dāng)x=3.3cm時，V=592.548cm³；
當(dāng)x=3.4cm時，V=592.416cm³；當(dāng)x=3.5cm時，V=591.5cm³，
小英同學(xué)發(fā)現(xiàn)x的取值一定介于3.3cm～3.4cm之間，估計x的取值還能更精確些，小英再計算x=3.3cm，3.33cm，3.333cm，3.3333cm…時，發(fā)現(xiàn)容積還在逐漸增大．現(xiàn)請你也觀察（4）中數(shù)據(jù)變化，能否推測x可以取到哪一個定值，容積V的值最大？（直接寫出即可）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

甲、乙兩輛汽車在一條公路上勻速行駛，為了確定汽車的位置，我們用數(shù)軸Ox表示這條公路，原點O為零千米路標，并作如下約定：

①速度v＞0，表示汽車向數(shù)軸正方向行駛；速度v＜0，表示汽車向數(shù)軸負方向行駛；速度v=0，表示汽車靜止．

②汽車位置在數(shù)軸上的坐標s＞0，表示汽車位于零千米路標的右側(cè)；汽車位置在數(shù)軸上的坐標s＜0，表示汽車位于零千米路標的左側(cè)；汽車位置在數(shù)軸上的坐標s=0，表示汽車恰好在零千米路標處．遵照上述約定，將這兩輛汽車在公路上勻速行駛的情況，以一次函數(shù)圖象的形式畫在了同一直角坐標系中(如圖)．

請回答下列問題：

(1)就這兩個一次函數(shù)圖象所反映的兩汽車在這條公路上行駛的狀況填寫如下的表格：

(2)甲、乙兩車能否相遇?如能相遇，求相遇時的時刻及在公路上的位置；如不能相遇，說明理由．

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(1)速度v＞0，表示汽車向數(shù)軸正方向行駛；速度v＜0，表示汽車向數(shù)軸負方向行駛；速度v=0，表示汽車靜止．

(2)汽車位置在數(shù)軸上的坐標s＞0，表示汽車位于零千米路標的右側(cè)；汽車位置在數(shù)軸上的坐標s=0，表示汽車恰好位于零千米路標處．汽車位置在數(shù)軸上的坐標s＜0，表示汽車位于零千米路標的左側(cè)．遵照上述約定，將這兩輛汽車在公路上勻速行駛的情況，以一次函數(shù)圖象的形式畫在了同一直角坐標系中，如圖．

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①就這兩個一次函數(shù)圖象所反映的兩汽車在這條公路行行駛的狀況填寫如下表格：

(2)甲、乙兩車能否相遇？如能相遇，求相遇時的時刻及在公路上的位置；如不能相遇，請說明理由．

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如圖，一張邊長為20cm正方形硬紙板，把它的四個角都剪去一個邊長為xcm的小正方形，然后把它折成一個無蓋的長方體，設(shè)長方體的容積為Vcm³，請回答下列問題：
（1）若用含有x的代數(shù)式表示V，則V=______．
（2）根據(jù)（1）中結(jié)果，填寫下表：
x（cm） 1 2 3 4 5 6 7
V（cm³） 324 512 500 384 252
（3）觀察（2）中表格，容積V的值是否隨x值的增大而增大？此時當(dāng)x取什么整數(shù)值時，容積V的值最大？
（4）課后小英同學(xué)繼續(xù)對這個問題作了以下探究：
當(dāng)x=3.2cm時，V=591.872cm³；當(dāng)x=3.3cm時，V=592.548cm³；
當(dāng)x=3.4cm時，V=592.416cm³；當(dāng)x=3.5cm時，V=591.5cm³，
小英同學(xué)發(fā)現(xiàn)x的取值一定介于3.3cm～3.4cm之間，估計x的取值還能更精確些，小英再計算x=3.3cm，3.33cm，3.333cm，3.3333cm…時，發(fā)現(xiàn)容積還在逐漸增大．現(xiàn)請你也觀察（4）中數(shù)據(jù)變化，能否推測x可以取到哪一個定值，容積V的值最大？（直接寫出即可）

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請回答： $數(shù)學(xué)公式$ 能否表示為3個互異的正整數(shù)的倒數(shù)的和？ $數(shù)學(xué)公式$ 能否表示為3個互異的完全平方數(shù)的倒數(shù)的和？如果能，請給出一個例子；如果不能，請說明理由．