Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，∠ABC=60°，AB=1，E、F分別是線段BO、DO上不與點(diǎn)O重合的點(diǎn)，且BE=DF．
（1）探究：當(dāng)BC的長為多少時(shí)，四邊形AECF是菱形？并說明理由．
（2）當(dāng)四邊形AECF是正方形時(shí)，求DF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出OE=OF，得到平行四邊形AECF，根據(jù)菱形的性質(zhì)推出AC⊥BD即可；
（2）根據(jù)含30度角的之間三角形性質(zhì)和勾股定理求出OE、OF，OA、OC，BD，即可求出答案．
解答：解：（1）當(dāng)BC=1時(shí)，四邊形AECF是菱形．理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
即OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
當(dāng)BC=AB=1時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即AC⊥EF，∴平行四邊形AECF是菱形．

（2）由于正方形是特殊的菱形，由（1）知，此時(shí)四邊形ABCD和AECF均為菱形．
∵∠ABC=60°，AB=1，AC⊥BD，
∴△ADC和△ABC均為等邊三角形，且AO=CO=，BO=DO=，
當(dāng)四邊形AECF是正方形時(shí)，EO=FO=AO=CO=，
∴DF=DO-FO=-=，
答：DF長是．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)正方形的性質(zhì)，菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，含30度角的之間三角形等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．