【題目】已知:△ABC與△ABD中,∠CAB=∠DBA=β,且∠ADB+∠ACB=180°.
提出問題:如圖1,當(dāng)∠ADB=∠ACB=90°時,求證:AD=BC;
類比探究:如圖2,當(dāng)∠ADB≠∠ACB時,AD=BC是否還成立?并說明理由.
綜合運用:如圖3,當(dāng)β=18°,BC=1,且AB⊥BC時,求AC的長.
【答案】(1)見解析;(2)仍然成立,理由見解析;(3)+1
【解析】
(1)證明△DBA≌△CAB即可;
(2)作∠BEC=∠BCE,BE交AC于E,證明△DBA≌△EAB即可;
(3)作∠BEC=∠BCE,BE交AC于E,由(2)得,AD=BC=BE=1,通過角之間的關(guān)系可求得EF=BE=1,再證△CBE∽△CFB,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解即可.
(1)在△BDA和△CAB中
∴△DBA≌△CAB(AAS);
(2)結(jié)論仍然成立.
理由:作∠BEC=∠BCE,BE交AC于E.
∵∠ADB+∠ACB=∠AEB+∠BEC=180°
∴∠ADB=∠AEB.
又∠CAB=∠DBA,AB=BA
∴△DBA≌△EAB(AAS),
∴BE=AD,
∵∠BEC=∠BCE,
∴BC=BE,
∴AD=BC.
(3)作∠BEC=∠BCE,BE交AC于E,
由(2)得,AD=BC=BE=1
在Rt△ACB中,∠CAB=18°
∴∠C=72°,∠BEC=∠C= 72°
由∠CFB=∠CAB+∠DBA=36°
∴∠EBF=∠CEB-∠CFB=36°
∴EF=BE=1
在△BCF中,∠FBC=180°-∠BFC-∠C=72°
∴∠FBC=∠BEC,∠C=∠C
∴△CBE∽△CFB
∴=
令CE=x,∴1=x(x+1)
解之,x=
∴CF=
由∠FBC=∠BEC
∴BF=CF.又AF=BF
∴AC=2CF=+1
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=mx+n與雙曲線y=相交于A(﹣1,2)、B(2,b)兩點,與y軸相交于點C.
(1)求m,n的值;
(2)若點D與點C關(guān)于x軸對稱,求△ABD的面積;
(3)在坐標(biāo)軸上是否存在異于D點的點P,使得S△PAB=S△DAB?若存在,直接寫出P點坐標(biāo);若不存在,說明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根.
(1)求的取值范圍;
(2)若為正整數(shù),且該方程的兩個根都是整數(shù),求的值并求出方程的兩個整數(shù)根.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+3的圖象分別交x軸、y軸于點B、點C,與反比例函數(shù)的圖象在第四象限的相交于點P,并且PA⊥y軸于點A,已知A (0,﹣6),且S△CAP=18.
(1)求上述一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式;
(2)設(shè)Q是一次函數(shù)y=kx+3圖象上的一點,且滿足△OCQ的面積是△BCO面積的2倍,求出點Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一張直角三角形紙片ABC,∠ACB=90°,AB=10,AC=6,點D為BC邊上的任一點,沿過點D的直線折疊,使直角頂點C落在斜邊AB上的點E處,當(dāng)△BDE是直角三角形時,則CD的長為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象如圖,下列結(jié)論:①abc>0;②2a+b<0;③a﹣b+c<0;④a+c>0;⑤b2>4ac;⑥當(dāng)x>1時,y隨x的增大而減。渲姓_的說法有_____(寫出正確說法的序號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,CB=CA,∠ACB=90°,點D在邊BC上(與B,C不重合),四邊形ADEF為正方形,過點F作FG⊥CA,交CA的延長線于點G,連接FB,交DE于點Q,給出以下結(jié)論:①AC=FG;②S△FAB∶S四邊形CBFG=1∶2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQ·AC,其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2﹣2x+3 的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C.
(1)求A、B、C的坐標(biāo);
(2)過拋物線上一點F作y軸的平行線,與直線AC交于點G.若FG=AC,求點F的坐標(biāo);
(3)E(0,﹣2),連接BE.將△OBE繞平面內(nèi)的某點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△O′B′E′,O、B、E的對應(yīng)點分別為O′、B′、E′.若點B′、E′兩點恰好落在拋物線上,求點B′的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,對角線,點E是線段BC上的動點,連接DE,過點D作DP⊥DE,在射線DP上取點F,使得,連接CF,則周長的最小值為___________.
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