Question

如圖，?ABCD中，E是BC邊的中點，連接AE，F(xiàn)為CD邊上一點，且滿足∠DFA=2∠BAE．
（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度數(shù)；
（2）求證：AF=CD+CF．

Answer 1

（1）解：∵∠D=105°，∠DAF=35°，
∴∠DFA=180°-∠D-∠DAF=40°（三角形內(nèi)角和定理）．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD（平行四邊形對邊平行且相等）．
∴∠DFA=∠FAB=40°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；
∵∠DFA=2∠BAE（已知），
∴∠FAB=2∠BAE（等量代換）．
即∠FAE+∠BAE=2∠BAE．
∴∠FAE=∠BAE；
∴2∠FAE=40°，
∴∠FAE=20°；

（2）證明：在AF上截取AG=AB，連接EG，CG．
∵∠FAE=∠BAE，AE=AE，
∴△AEG≌△AEB．
∴EG=BE，∠B=∠AGE；
又∵E為BC中點，∴CE=BE．
∴EG=EC，∴∠EGC=∠ECG；
∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°．
又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B，
∴∠BCF=∠EGF；
又∵∠EGC=∠ECG，
∴∠FGC=∠FCG，∴FG=FC；
又∵AG=AB，AB=CD，
∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC．
分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)證得∠DFA=∠FAB=40°；然后結(jié)合已知條件∠DFA=2∠BAE求得∠FAE=∠BAE，從而求得∠FAE的度數(shù)；
（2）在AF上截取AG=AB，連接EG，CG．利用全等三角形的判定定理SAS證得△AEG≌△AEB，由全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等知EG=BE，∠B=∠AGE；然后由中點E的性質(zhì)平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)求得CF=FG；最后根據(jù)線段間的和差關(guān)系證得結(jié)論．
點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．利用平行四邊形的性質(zhì)，可以證角相等、線段相等．其關(guān)鍵是根據(jù)所要證明的全等三角形，選擇需要的邊、角相等條件．