Question

如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm，∠A=60°，點(diǎn)M是AD邊上一點(diǎn)，且DM=2cm，點(diǎn)E、F分別從A、C同時(shí)出發(fā)，以1cm/s的速度分別沿邊AB、CB向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，EM、CD的延長(zhǎng)線相交于G，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t秒，
（1）求△AEM的面積S₁（cm²）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求△CGF的面積S₂（cm²）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，GF⊥AD？

Answer 1

分析：（1）過(guò)M作MN⊥AB于N，求出MN長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（2）過(guò)G作GQ⊥BC于Q，證△DMG∽△AME求出DG，解直角三角形求出GQ，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（3）求出GF⊥BC，推出CG=2CF，代入即可得出關(guān)于t的方程，求出即可．

解答：解：（1） 
過(guò)M作MN⊥AB于N，
則∠MNA=90°，
∵∠A=60°，AM=6-2=4，
∴在Rt△MAN中，MN=AM•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
S_△AME=

1

2

AE×MN=

1

2

t•2

3

=

3

t
∴△AEM的面積S₁（cm²）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式是S₁=

3

t．

（2）
過(guò)G作GQ⊥BC于Q，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C=60°，DC=BC=AD=BA=6，CD∥AB，
∴△DMG∽△AME，
∴

DG

AE

=

DM

AM

，
∴

DG

t

=

2

4

，
∴DG=

1

2

t，
∴GC=

1

2

t+6，
在Rt△GQC中，∠GQC=90°，∠C=60°，GQ=GC•sin60°=

3

2

（

1

2

t+6）=

3

4

t+3

3

，
∴S_△CGF=

1

2

CF×GQ=

1

2

t•（

3

4

t+3

3

）=

3

8

t²+

3 3

2

t，
即△CGF的面積S₂（cm²）與時(shí)間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式是S₂=

3

8

t²+

3 3

2

t．

（3）設(shè)經(jīng)過(guò)ts，GF⊥AD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴GF⊥BC，
∴∠GFC=90°，
∵∠C=60°，∴∠CGF=30°，
∴GC=2CF，
即

1

2

t+6=2t，
t=4，
即t為4s時(shí)，GF⊥AD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形面積，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，用了方程思想．