Question

如圖，菱形ABCD的邊長為6cm，∠A=60°，點M是AD邊上一點，且DM=2cm，點E、F分別從A、C同時出發(fā)，以1cm/s的速度分別沿邊AB、CB向點C運動，EM、CD的延長線相交于G，設(shè)運動時間t秒，
（1）求△AEM的面積S₁（cm²）與時間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求△CGF的面積S₂（cm²）與時間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)t為何值時，GF⊥AD？

Answer 1

分析：（1）過M作MN⊥AB于N，求出MN長，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（2）過G作GQ⊥BC于Q，證△DMG∽△AME求出DG，解直角三角形求出GQ，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（3）求出GF⊥BC，推出CG=2CF，代入即可得出關(guān)于t的方程，求出即可．

解答：解：（1） 
過M作MN⊥AB于N，
則∠MNA=90°，
∵∠A=60°，AM=6-2=4，
∴在Rt△MAN中，MN=AM•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
S_△AME=

1

2

AE×MN=

1

2

t•2

3

=

3

t
∴△AEM的面積S₁（cm²）與時間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式是S₁=

3

t．

（2）
過G作GQ⊥BC于Q，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C=60°，DC=BC=AD=BA=6，CD∥AB，
∴△DMG∽△AME，
∴

DG

AE

=

DM

AM

，
∴

DG

t

=

2

4

，
∴DG=

1

2

t，
∴GC=

1

2

t+6，
在Rt△GQC中，∠GQC=90°，∠C=60°，GQ=GC•sin60°=

3

2

（

1

2

t+6）=

3

4

t+3

3

，
∴S_△CGF=

1

2

CF×GQ=

1

2

t•（

3

4

t+3

3

）=

3

8

t²+

3 3

2

t，
即△CGF的面積S₂（cm²）與時間t（秒）之間的函數(shù)關(guān)系式是S₂=

3

8

t²+

3 3

2

t．

（3）設(shè)經(jīng)過ts，GF⊥AD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴GF⊥BC，
∴∠GFC=90°，
∵∠C=60°，∴∠CGF=30°，
∴GC=2CF，
即

1

2

t+6=2t，
t=4，
即t為4s時，GF⊥AD．

點評：本題考查了三角形面積，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，用了方程思想．