Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)y=2x+2的圖象與y軸交于點(diǎn)B，與反比例函數(shù)y=的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為A（1，m），過點(diǎn)B作AB的垂線BD，與反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象交于點(diǎn)D（n，﹣2）．

（1）k1和k2的值分別是多少？

（2）直線AB，BD分別交x軸于點(diǎn)C，E，若F是y軸上一點(diǎn)，且滿足△BDF∽△ACE，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）4，-16；（2）點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，﹣8）．

【解析】（1）將A坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出m的值，確定出A的坐標(biāo)，將A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=中即可求出k1的值；過A作AM垂直于y軸，過D作DN垂直于y軸，可得出一對(duì)直角相等，再由AC垂直于BD，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△ABM與△BDN相似，由相似得比例，求出DN的長(zhǎng)，確定出D的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)y=中即可求出k2的值；
（2）在y軸上存在一個(gè)點(diǎn)F，使得△BDF∽△ACE，此時(shí)F（0，－8），理由為：由y=2x+2求出C坐標(biāo)，由OB=ON=2，DN=8，可得出OE為△BDN的中位線，求出OE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出AE，CE，AC，BD的長(zhǎng)，以及∠EBO=∠ACE=∠EAC，若△BDF∽△ACE，得到比例式，求出BF的長(zhǎng)，即可確定出此時(shí)F的坐標(biāo)。

（1）∵點(diǎn)A（1，m）在一次函數(shù)y=2x+2的圖象上，∴m=2+2=4，

∵點(diǎn)A（1，4）在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴k1=1×4=4；

∵BD⊥AB，∴∠BCE+∠BEC=90°，∵∠OCB+∠OBC=90°，∴∠BEC=∠OBC，

∴△BEC∽△OBC，∴．

∵已知一次函數(shù)y=2x+2的圖象與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C，

∴B（0，2），C（﹣1，0），∴BC==，OB=2，OC=1，∴CE==5，

∴E（4，0）．設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，則有，解得：，

∴直線BD的解析式為y=﹣x+2．∵點(diǎn)D（n，﹣2）在直線BD上，

∴﹣2=﹣n+2，解得：n=8，∵點(diǎn)D（8，﹣2）在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，

∴k2=8×（﹣2）=﹣16．

（2）∵A（1，4），C（﹣1，0），E（4，0），∴CE=4﹣（﹣1）=5，AE==5，

AC==2，∴∠EAC=∠ECA．

∵∠EBO+∠CBO=90°，∠CBO+∠BCO=90°，∴∠EBO=∠BCO=∠EAC=∠DBF，

∴點(diǎn)F在點(diǎn)B的下方．設(shè)點(diǎn)F（0，t），B（0，2），D（8，﹣2），

∴BF=2﹣t，BD==4．∵△BDF∽△ACE，∴，

∴BF=2﹣t==10，解得：t=﹣8．

∴當(dāng)F是y軸上一點(diǎn)，且滿足△BDF∽△ACE時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，﹣8）．