Question

如圖，△ABC中，∠A=

1

2

∠B=

1

3

∠ACB，CD是高，S表示三角形的面積．求證：S_△ACD=3S_△BCD．

Answer 1

分析：由已知可得∠B=2∠A，∠ACB=3∠A，由三角形的內(nèi)角和定理可得，∠A=30°，進(jìn)而∠B=60°，∠ACB=90°，根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和三角形的面積公式即可證明．

解答：證明：∵∠A=

1

2

∠B=

1

3

∠ACB
∴∠B=2∠A，∠ACB=3∠A，
∵三角形三內(nèi)角的和是180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°，
即∠A+2∠A+3∠A=180°，
∴∠A=30°，
∴∠B=60°，∠ACB=90°，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

•

1

2

AB．
∴AB=AD+BD=4BD，得 AD=3BD．                     
∴S△ACD=

1

2

AD•CD=

3

2

•BD•CD=3S△BCD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的面積公式運(yùn)用，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．