【題目】如圖,頂點為A的拋物線y=a(x+2)2﹣4交x軸于點B(1,0),連接AB,過原點O作射線OM∥AB,過點A作AD∥x軸交OM于點D,點C為拋物線與x軸的另一個交點,連接CD.

(1)求拋物線的解析式;
(2)若動點P從點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿著射線OM運動,設(shè)點P運動的時間為t秒,問:當(dāng)t為何值時,OB=AP;
(3)若動點P從點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿線段OD向點D運動,同時動點Q從點C出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿線段CO向點O運動,當(dāng)其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動.設(shè)它們的運動時間為t秒,連接PQ.問:當(dāng)t為何值時,四邊形CDPQ的面積最?并求此時PQ的長.

【答案】
(1)解:把(1,0)代入y=a(x+2)2﹣4,

得a=

∴y= (x+2)2﹣4,

即y= x2+ x﹣


(2)解:由題意得OP=t,AB= =5,

若OB∥AP,即四邊形ABOP為平行四邊形時,OB=AP,且OP=AB=5,即當(dāng)t=5時,OB=AP,

若OB不平行于AP,即四邊形ABOP為等腰梯形時,OB=AP,連接AP,過點P作PG⊥AB,過點O作OH⊥AB,垂足分別為G、H,

∴△APG≌△BOH,

在Rt△OBM中,

∵OM= ,OB=1,

∴BM= ,

∴OH=

∴BH= ,

∴OP=GH=AB﹣2BH= ,

即當(dāng)t= 時,OB=AP


(3)解:將y=0代入y= x2+ x﹣ ,得 x2+ x﹣ =0,

解得x=1或﹣5.

∴C(﹣5,0).

∴OC=5,

∵OM∥AB,AD∥x軸,

∴四邊形ABOD是平行四邊形,

∴AD=OB=1,

∴點D的坐標(biāo)是(﹣3,﹣4),

∴SDOC= ×5×4=10,

過點P作PN⊥BC,垂足為N.易證△OPN∽△BOH,

= ,

=

∴PN= t,

∴四邊形CDPQ的面積S=SDOC﹣SOPQ=10﹣ ×(5﹣2t)× t= t2﹣2t+10,

∴當(dāng)t= 時,四邊形CDPQ的面積S最小,

此時,點P的坐標(biāo)是(﹣ ,﹣1),點Q的坐標(biāo)是(﹣ ,0),

∴PQ= =


【解析】(1)把點B(1,0)代入拋物線的解析式,求出拋物線的解析式;(2)根據(jù)勾股定理求出AB的值,若OB∥AP,即四邊形ABOP為平行四邊形時,OB=AP,且OP=AB,當(dāng)t=5時,OB=AP;若OB不平行于AP,即四邊形ABOP為等腰梯形時,OB=AP,得到△APG≌△BOH,在Rt△OBM中,求出

BM,OH,BH的值,OP=GH=AB﹣2BH的值即可;(3)根據(jù)題意求出C的坐標(biāo),得到OC的值,由OM∥AB,AD∥x軸,得到四邊形ABOD是平行四邊形,AD=OB,求出點D的坐標(biāo),求出SDOC的面積 ,證出△OPN∽△BOH,得到比例,求出PN的值,得到四邊形CDPQ的面積S=SDOC﹣SOPQ,求出PQ的值;此題是綜合題,難度較大,計算和解方程時需認(rèn)真仔細(xì).

練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對于點P(xy),我們把P1(y1,x1)叫做點P的友好點,已知點A1的友好點為A2,點A2的友好點為A3,點A3的友好點為A4,,這樣依次得到各點.若A2020的坐標(biāo)為(3,2),設(shè)A1(x,y),則xy的值是(

A.-5B.-1C.3D.5

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【題目】如圖,已知平行四邊形,過于點,,若在平行四邊形內(nèi)取一點,則該點到平行四邊形的四個頂點的距離均不小于1的概率為_______

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【題目】某校在藝術(shù)節(jié)宣傳活動中,采用了四種宣傳形式:A唱歌,B舞蹈,C朗誦,D器樂.全校的每名學(xué)生都選擇了一種宣傳形式參與了活動,小明對同學(xué)們選用的宣傳形式,進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查,根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果,繪制了如圖兩種不完整的統(tǒng)計圖表:

選項

方式

百分比

A

唱歌

35%

B

舞蹈

a

C

朗誦

25%

D

器樂

30%

請結(jié)合統(tǒng)計圖表,回答下列問題:

(1)本次調(diào)查的學(xué)生共人,a= , 并將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整
(2)如果該校學(xué)生有2000人,請你估計該校喜歡“唱歌”這種宣傳形式的學(xué)生約有多少人?
(3)學(xué)校采用調(diào)查方式讓每班在A、B、C、D四種宣傳形式中,隨機(jī)抽取兩種進(jìn)行展示,請用樹狀圖或列表法,求某班抽到的兩種形式有一種是“唱歌”的概率.

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【題目】在△ABC中,AB=AC,∠ABC=90°,D為AC中點,點P是線段AD上的一點,點P與點A,點D不重合),連接BP.將△ABP繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<180°),得到△A1B1P,連接A1B1、BB1
(1)如圖①,當(dāng)0°<α<90°,在α角變化過程中,請證明∠PAA1=∠PBB2

(2)如圖②,直線AA1與直線PB、直線BB1分別交于點E,F(xiàn).設(shè)∠ABP=β,當(dāng)90°<α<180°時,在α角變化過程中,是否存在△BEF與△AEP全等?若存在,求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系;若不存在,請說明理由;

(3)如圖③,當(dāng)α=90°時,點E、F與點B重合.直線A1B與直線PB相交于點M,直線BB與AC相交于點Q.若AB= ,設(shè)AP=x,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

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【題目】如圖,P是正方形ABCD的對角線BD上一點,PEBC于點E,PFCD于點F,連接EF,給出下列五個結(jié)論:AP=EF;②APEF;③△APD一定是等腰三角形;④∠PFE=BAP;⑤PD=EC,其中正確結(jié)論的序號是______.

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【題目】計算:計算與化簡
(1) ﹣(﹣2)2+(﹣0.1)0
(2)(x﹣2)2﹣(x+3)(x﹣1).

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【題目】小紅同學(xué)在做作業(yè)時,遇到這樣一道幾何題:

已知:ABCDEFA=110°,ACE=100°,過點EEHEF,垂足為E,交CDH點.

(1)依據(jù)題意,補(bǔ)全圖形;

(2)求∠CEH的度數(shù).

小明想了許久對于求∠CEH的度數(shù)沒有思路,就去請教好朋友小麗,小麗給了他如圖2所示的提示

請問小麗的提示中理由①是

提示中②是: 度;

提示中③是: 度;

提示中④是: ,理由⑤是

提示中⑥是 度;

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【題目】在如下命題中:(1)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直;(2)垂線段最短;(3)過一點有且只有一條直線與這條直線平行;(4)內(nèi)錯角相等;(5)平行于同一直線的兩直線平行;(6)有兩個角互余的三角形是直角三角形是真命題的有(

A.B.C.D.

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