Question

在遠(yuǎn)古時(shí)代，我們的祖先就發(fā)現(xiàn)并證明了在直角三角形中斜邊上中線等于斜邊的一半，今天的我們可以直接運(yùn)用．現(xiàn)有一張長(zhǎng)方形紙片ABCD，在AD邊上任取一點(diǎn)P（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），以BP所在直線為折痕，將長(zhǎng)方形如圖翻折，使A點(diǎn)翻到E點(diǎn)，再將PD翻到與PE所在直線位置重合，得到折痕PG，PG與DC邊交于點(diǎn)G，點(diǎn)D翻到點(diǎn)F處，如圖，連接BG，取BG的中點(diǎn)H，連接HE、HF，試猜想線段HE與HF之間的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）,直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：如圖，延長(zhǎng)FH交BE于點(diǎn)M．構(gòu)建全等三角形△BMH≌△GFH，然后運(yùn)用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”進(jìn)行證明結(jié)論．

解答：解：HE=HF．理由如下：
如圖，延長(zhǎng)FH交BE于點(diǎn)M．
根據(jù)折疊的性質(zhì)知，∠PEB=∠A=90°，∠PFG=∠D=90°，
又∵∠PEB+∠BEF=180°
∴∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠PFG=90°，
∴BE∥FG，
∴∠MBH=∠HGF，
∵H為BG的中點(diǎn)，
∴BH=GH，
∴在△BMH與△GFH中，

∠MBH=∠HGF BH=GH ∠MHB=∠FHG(對(duì)頂角相等)

，
∴△BMH≌△GFH（ASA），
∴MH=FH=

1

2

FM．
∵∠MEF=90°，
∴EH=

1

2

FM，
∴HE=HF．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圖形變換的性質(zhì)，邏輯推理能力以及探究能力．會(huì)熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)和直角形斜邊上的中線解題是基本的數(shù)學(xué)能力．