Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，AO=8，AB=AC，sin∠ABC=

4

5

．CD與y軸交于點E，且S_△COE=S_△ADE．已知經過B，C，E三點的圖象是一條拋物線，求這條拋物線對應的二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：首先利用銳角三角函數(shù)的關系得出AB的長，再利用勾股定理求出BO的長，再利用S_△CDB=S_△ABO得出DN的長，進而利用平行線的性質得出E點坐標，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可．

解答：解：過點D作DN⊥BC，
∵AB=AC，AO⊥BC，
∴BO=CO，
∵sin∠ABC=

4

5

，AO=8，
∴sin∠ABC=

AO

AB

=

8

AB

=

4

5

，
∴AB=10，
BO=

102-82

=6，
∴B點坐標為：（6，0），C點坐標為：（-6，0），
∵S_△COE=S_△ADE，
∴S_△CDB=S_△ABO，
∴DN×BC=AO×BO，
∴DN=

AO•BO

BC

=

8×6

12

=4，
∵ND∥AO，
∴

DN

AO

=

NB

BO

=

1

2

，
∴NO=NB=3，
∴

EO

ND

=

CO

CN

，
∴

EO

4

=

6

9

，
解得：EO=

8

3

，
∴E點坐標為：（0，-

8

3

），
∵經過B，C，E三點的圖象對稱軸為y軸，
∴經過B，C，E三點的解析式為：y=ax²+c，
將E點坐標為：（0，-

8

3

），B點坐標為：（6，0）代入解析式得：

c=- 8 3 36a+c=0

，
解得：

a= 2 27 c= - 8 3

，
∴這條拋物線對應的二次函數(shù)的解析式為：y=

2

27

x²-

8

3

．

點評：此題主要考查了銳角三角函數(shù)的計算、平行線的性質、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識，根據平行線的性質得出E點坐標是解題關鍵．