如圖,地上有一圓柱,在圓柱下底面的A點(diǎn)處有一螞蟻,它想沿圓柱表面爬行.吃到上底面上與A點(diǎn)相對的B點(diǎn)處的食物(π的近似值取3,以下同).
(1)當(dāng)圓柱的高h(yuǎn)=12厘米,底面半徑r=3厘米時,螞蟻沿側(cè)面爬行時最短路程是多少;
(2)當(dāng)圓柱的高h(yuǎn)=3厘米,底面半徑r=3厘米時,螞蟻沿側(cè)面爬行也可沿AC到上底面爬行時最短路程是多少;
(3)探究:當(dāng)圓柱的高為h,圓柱底面半徑為r時,螞蟻怎樣爬行的路程最短,路程最短為多少?
將圓柱體展開,連接AB,
∵底面半徑r=3厘米,
∴CB=
1
2
×2π×3=3π≈9厘米,
∵圓柱的高h(yuǎn)=12厘米,即AC=12厘米,
∴AB=
AC2+CB2
=
122+92
=15厘米.
答:螞蟻沿側(cè)面爬行時最短路程是15厘米.
(2)當(dāng)螞蟻沿側(cè)面爬行同(1)的方法:
∵AC=3,
BC
=3π≈9,
∴AB=
90
=3
10

當(dāng)螞蟻沿AC到上底面,再沿直徑CB爬行,有AC+BC=3+6=9.
因?yàn)?span dealflag="1" mathtag="math" >
90
>9,
所以最短路程是經(jīng)AC到上底面,再沿直徑CB爬行的總路程為9.
(3)在側(cè)面,沿AB爬行時,S1=
h2+π2r2
,沿AC再經(jīng)過直徑CB時,
則S2=h+2r.
當(dāng)S1=S2時,
h2+π2r2
=h+2r

整理,得4h=(π2-4)r,由于π取3,
所以4h≈5r.
當(dāng)h≈
5
4
r
時,兩種爬行路程一樣.
當(dāng)S1>S2時,
h2+π2r2
>h+2r
,整理,得4h<(π2-4)r
當(dāng)π取3時,有h<
5
4
r
,所以當(dāng)h<
5
4
r
時,沿AC再經(jīng)過直徑CB到點(diǎn)B時所走路程最短.
同理,當(dāng)h>
5
4
r
時,沿側(cè)面AB走路程最短.
當(dāng)h<
5
4
r時,沿AC到CB走路程最短為h+2r.
當(dāng)h<
5
4
r時,沿側(cè)面AB走或沿AC到CB走路程一樣長為
h2+9r2
或h+2r.
當(dāng)h<
5
4
r時,沿側(cè)面AB走路程最短為
h2+9r2

當(dāng)h<
5
4
r時,沿AC到CB走路程最短為h+2r.
練習(xí)冊系列答案
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10
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10
;在數(shù)軸上以原點(diǎn)為圓心,以
10
半徑作弧,與數(shù)軸正半軸所交的點(diǎn)就是表示
10
的點(diǎn),這是利用了______.

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A.7mB.8mC.6mD.5m

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如圖所示,在數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a,則a的值為( 。
A.-1-
5
B.1-
5
C.-
5
D.-1+
5

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A.481B.329C.319D.300

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同步練習(xí)冊答案