Question

如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BE，過E作EF⊥BE，EF交CD于F．
（1）求證：EB=EF；
（2）若AE=，CF=4，求正方形ABCD的面積．

Answer 1

（1）證明：作EM⊥BC于點(diǎn)M，EN⊥CD于點(diǎn)N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD，
∴EM=EN，∠NEM=90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠BEM=∠NEF，
∵∠BME=∠FNE=90°，
∴△BEM≌△FEN，
∴BE=EF；

（2）解：設(shè)BM=x，則NF=x，
由（1）可知四邊形EMCN為正方形，
∴EM=CM=CN=4+x，
∴CE=（4+x），
∵EM∥AB，
∴，
∴，
解得：x=1或-4（舍），
∴BC=BM+CM=6，
∴正方形ABCD的面積為：6×6=36．
分析：（1）作EM⊥BC于點(diǎn)M，EN⊥CD于點(diǎn)N，利用正方形的性質(zhì)和角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊相等以及已知條件即可證明△BEM≌△FEN，進(jìn)而得到BE=EF；
（2）設(shè)BM=x，則NF=x，由（1）可知四邊形EMCN為正方形，得到EM∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到關(guān)于x的比例式，求出x的值，即可求出正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出其面積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是作垂線段構(gòu)造全等三角形．