如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,已知AB=5,BC=6,cosB=數(shù)學(xué)公式.點(diǎn)O由點(diǎn)B向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位的速度沿BC邊運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,以O(shè)為圓心,OB為半徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)P.
作业宝
(1)求AD的長;
(2)當(dāng)t=AD時(shí),如圖(2),求BP的長;
(3)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的過程中,過點(diǎn)D的直線DQ與⊙O相切于點(diǎn)Q,交BC于點(diǎn)E,如圖(3),當(dāng)DQ∥AB時(shí),求t的值.

解:(1)過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,
∵AB=5,cosB=,
∴BE=AB•cosB=3,
∴EC=BC-BE=3,
∵AD∥BC,∠BCD=90°,
∴∠C=∠D=∠AEC=90°,
∴四邊形AECD是矩形,
∴AD=3;

(2)∵AD=3,
∴當(dāng)t=AD時(shí),OB=3,
過點(diǎn)O作OF⊥BP于點(diǎn)F,
∴BF=BP,
∵cosB=
∴BF=BO•cosB=,
∴BP=

(3)連接OQ
∵DQ∥AB,AD∥BC,
∴四邊形ABED是平行四邊形,
∴BE=AD=3,DE=AB=5,
∴CD==4,
∵BO=t,
∴OE=3-t,
∵直線DQ與⊙O相切于點(diǎn)Q,
∴∠OQE=∠C=90°,
∵∠OEQ=∠DEC,
∴△OQE∽△DCE,
,
,
解得:t=
分析:(1)利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BE的長,進(jìn)而得出EC的長,即可得出AD的長;
(2)根據(jù)(1)中所求得出BF的長進(jìn)而得出BP的長;
(3)首先求出CD的長,進(jìn)而得出△OQE∽△DCE,則,求出t的值即可.
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì),根據(jù)已知得出△OQE∽△DCE是解題關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD互相垂直平分于點(diǎn)O,設(shè)AC=2a,BD=2b,請(qǐng)推導(dǎo)這個(gè)四邊形的性質(zhì).(至少3條)
(提示:平面圖形的性質(zhì)通常從它的邊、內(nèi)角、對(duì)角線、周長、面積等入手.)

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如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.若PE=PF,且AP+AE=CP+CF.
(1)求證:PA=PC.
(2)若BD=12,AB=15,∠DBA=45°,求四邊形ABCD的面積.

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精英家教網(wǎng)如圖,四邊形ABCD,AB=AD=2,BC=3,CD=1,∠A=90°,求∠ADC的度數(shù).

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如圖,四邊形ABCD為正方形,E是BC的延長線上的一點(diǎn),且AC=CE,求∠DAE的度數(shù).

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如圖,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分線CF于F.

(I)求證:AE=EF;
(Ⅱ)若將條件中的“點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)”改為“E是BC上任意一點(diǎn)”,其余條件不變,則結(jié)論AE=EF還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.

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