設(shè)拋物線y=ax2+bx+c與X軸交于兩不同的點A（-1，0），B（m，0），（點A在點B的左邊），與y軸的交點為點C（0，-2），且∠ACB=90°．
（1）求m的值和該拋物線的解析式；
（2）若點D為該拋物線上的一點，且橫坐標為1，點E為過A點的直線y=x+1與該拋物線的另一交點．在X軸上是否存在點P，使得以P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）連接AC、BC，矩形FGHQ的一邊FG在線段AB上，頂點H、Q分別在線段AC、BC上，若設(shè)F點坐標為（t，0），矩形FGHQ的面積為S，當S取最大值時，連接FH并延長至點M，使HM=k•FH，若點M不在該拋物線上，求k的取值范圍．
（1）令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB=OC2，
∴OB=
OC2
OA
=
22
1
=4，
∴m=4，
將A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx-2，
得
a=
1
2
b=-
3
2
，
∴拋物線的解析式為y=
1
2
x2-
3
2
x-2．

（2）D（1，n）代入y=
1
2
x2-
3
2
x-2，得n=-3，
可得
x1=-1
y1=0
（不合題意舍去），
x2=6
y2=7
，
∴E（6，7）．
過E作EH⊥x軸于H，則H（6，0），
∴AH=EH=7，
∴∠EAH=45°．
過D作DF⊥x軸于F，則F（1，0），
∴BF=DF=3，
∴∠DBF=45°，
∴∠EAH=∠DBF=45°，
∴∠DBH=135°，
90°＜∠EBA＜135°．
則點P只能在點B的左側(cè)，有以下兩種情況：
①若△DBP1∽△EAB，則
BP1
AB
=
BD
AE
，
∴BP1=
AE•BD
AB
=
5×3
2
7
2
=
15
7
，
∴OP1=4-
15
7
=
13
7
，
∴P1（
13
7
，0）．
②若△DBP2∽△BAE，則
BP2
AE
=
BD
AB
，
∴BP2=
AE•BD
AB
=
7
2
×3
2
5
=
42
5
，
∴OP2=
42
5
-4=
22
5
，
∴P2（-
22
5
，0）．
綜合①、②，得點P的坐標為：P1（
13
7
，0）或P2（-
22
5
，0）．

（3）∵HQ∥AB
∴△CHQ∽△CAB
∴HQ：AB=CR：CO，
即：設(shè)HG=x，則
HQ
5
=
2-x
2

解得：HQ=-
5
2
x+5
∴矩形的面積S=HG•HQ=-
5
2
x2+5x
當x=-
5
2×(-
5
2
)
=1時，面積取得最大值．則H，R，Q的縱坐標是-1．
則HQ=-
5
2
×1+5=
5
2

設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b
根據(jù)題意得：
-k+b=0
b=-2
，解得：
k=-2
b=-2

則AC的解析式是：y=-2x-2
在解析式中，令x=-1，解得：y=0
則H的坐標是（-
1
2
，-1）．F的坐標是（2，0）．則HF=
29
2
．
設(shè)直線FH的解析式是y=kx+b
根據(jù)題意得：
-
1
2
k+b=-1
2k+b=0

解得：
k=
2
5
b=-
4
5
，
則直線FH的解析式是y=
2
5
x-
4
5
．
解方程組：
y=
2
5
x-
4
5
y=
1
2
x2-
3
2
x-2
，
解得：x=
19±
601
10
．
當直線與拋物線相交時，k=
HM
FH
=
-
1
2
-
19-
601
10
5
2
=
601
-24
25
或
19+
601
10
+
1
2
5
2
=
601
+24
25
．
則k的范圍是：k＞0且k≠
601
-24
25
且k≠
601
+24
25
．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知平面直角坐標系xOy中，點A（m，6），B（n，1）為兩動點，其中0＜m＜3，連接OA，OB，OA⊥OB．
（1）求證：mn=-6；
（2）當S△AOB=10時，拋物線經(jīng)過A，B兩點且以y軸為對稱軸，求拋物線對應的二次函數(shù)的關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)直線AB交y軸于點F，過點F作直線l交拋物線于P，Q兩點，問是否存在直線l，使S△POF：S△QOF=1：3？若存在，求出直線l對應的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=
2
m
x2-2x與x軸負半軸交于點A，頂點為B，且對稱軸與x軸交于點C．
（1）求點B的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）D為BO中點，直線AD交y軸于E，若點E的坐標為（0，2），求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，點M在直線BO上，且使得△AMC的周長最小，P在拋物線上，Q在直線BC上，若以A、M、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線y=-x2+mx過點A（4，0），O為坐標原點，Q是拋物線的頂點．
（1）求m的值和頂點Q的坐標；
（2）設(shè)點P是x軸上方拋物線上的一個動點，過點P作PH⊥x軸，H為垂足，求折線P-H-O長度的最大值．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，二次函數(shù)y=-x2+bx+3的圖象經(jīng)過點A（-1，0），頂點為P．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）頂點P的坐標為______；此拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為______；
（3）若拋物線與y軸交于C點，求△ABC的面積；
（4）在x軸上方的拋物線上是否存在一點D，使△ABD的面積等于△ABC的面積？若存在，請直接寫出點D的坐標．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，是一學生擲鉛球時，鉛球行進高度y（cm）的函數(shù)圖象，點B為拋物線的最高點，則該同學的投擲成績?yōu)開_____米．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線經(jīng)過一直線y=3x-3與x軸、y軸的交點，并經(jīng)過（2，5）點．
求：（1）拋物線的解析式；
（2）拋物線的頂點坐標及對稱軸；
（3）當自變量x在什么范圍內(nèi)變化時，函數(shù)y隨x的增大而增大？
（4）在坐標系內(nèi)畫出拋物線的圖象．

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，線段EF=10．在EF上取一點M，分別以EM、MF為一邊作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD．令MN=x，當x為何值時，矩形EMNH的面積S有最大值，最大值是多少？

查看答案和解析>>

科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，已知拋物線y1=-2x2+2，直線y2=2x+2，當x任取一值時，x對應的函數(shù)值分別為y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的較小值記為M；若y1=y2，記M=y1=y2．例如：當x=1時，y1=0，y2=4，y1＜y2，此時M=0．下列判斷：
①當x＜0時，y1＞y2；
②當x＜0時，x值越大，M值越��；
③使得M大于2的x值不存在；
④使得M=1的x值是-
1
2
或
2
2
．
其中正確的是______．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案