Question

如圖所示，若MP和NQ分別垂直平分AB和AC．
（1）若△APQ的周長為12，求BC的長；
（2）∠BAC=105°，求∠PAQ的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）∵M(jìn)P和NQ分別垂直平分AB和AC，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴△APQ的周長=AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC，
∵△APQ的周長為12，
∴BC=12；

（2）∵AP=BP，AQ=CQ，
∴∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，
∵∠BAC=105°，
∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-105°=75°，
∴∠PAQ=∠BAC-（∠BAP+∠CAQ）=105°-75°=30°．
分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AP=BP，AQ=CQ，然后求出△APQ的周長=BC，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAP+∠CAQ，再求解即可．
點(diǎn)評：本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．