Question

若|b-1|+

a-4

=0，且一元二次方程kx²+ax+b=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是

k≤4，且k≠0

；若x₁，x₂是一元二次方程kx²+ax+b=0的兩個實數(shù)根且滿足

1

2

(x1-x2)2-2x1x2=4，則k=

-2或1

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)非負數(shù)的定義求得a、b的值；然后利用一元二次方程的根判別式△=b²-4ac≥0列出關(guān)于k的不等式，通過解該不等式即可求得k的取值范圍；由根與系數(shù)的關(guān)系x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

來求k的值．

解答：解：∵|b-1|+

a-4

=0，
∴b-1=0，且a-4=0，
解得，b=1，a=4，
∴由一元二次方程kx²+ax+b=0，得
kx²+4x+1=0；
又∵一元二次方程kx²+ax+b=0有兩個實數(shù)根，
∴△=16-4k≥0，且k≠0，
解得，k≤4，且k≠0；
∵x₁+x₂=-

4

k

，x₁•x₂=

1

k

，
∴

1

2

(x1-x2)2-2x1x2
=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2
=

1

2

×

16

k2

-4×

1

k

=4，
∴k²+k-2=0，即（k+2）（k-1）=0
解得，k=-2或k=1．
故答案是：k≤4，且k≠0，；k=-2或k=1．

點評：本題綜合考查了非負數(shù)的性質(zhì)、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系．在解不等式時一定要注意數(shù)值的正負與不等號的變化關(guān)系．