Question

已知，點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），分別過(guò)A，B向直線(xiàn)CP作垂線(xiàn)，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是         ，QE與QF的數(shù)量關(guān)系式        ；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BA（或AB）的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫(huà)出圖形并給予證明．

Answer 1

 解：（1）AE∥BF，QE=QF，

理由是：如圖1，∵Q為AB中點(diǎn)，

∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ=90°，

在△BFQ和△AEQ中

，∴△BFQ≌△AEQ（AAS），∴QE=QF，

故答案為：AE∥BF；QE=QF．

（2）QE=QF，

證明：如圖2，延長(zhǎng)FQ交AE于D，

∵Q為AB中點(diǎn)，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∴∠QAD=∠FBQ，

在△FBQ和△DAQ中

，∴△FBQ≌△DAQ（ASA），∴QF=QD，∵AE⊥CP，

∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線(xiàn)，∴QE=QF=QD，即QE=QF．

（3）（2）中的結(jié)論仍然成立，

證明：如圖3，

延長(zhǎng)EQ、FB交于D，∵Q為AB中點(diǎn)，∴AQ=BQ，

                                   

∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∴∠1=∠D，在△AQE和△BQD中，

，∴△AQE≌△BQD（AAS），∴QE=QD，∵BF⊥CP，∴FQ是斜邊DE上的中線(xiàn)，∴QE=QF．