Question

我們把1°的圓心角所對的弧叫做1°的弧，則圓心角AOB的度數(shù)等于它所對的弧AB的度數(shù)記為：∠AOB

m  .

AB

．由此可知：命題“圓周角的度數(shù)等于其所對的弧的度數(shù)的一半．”是真命題，請結合圖形1給予證明（不要求寫已知、求證，只需直接證明），并解決以下的問題（1）和問題（2）．
問題（1）：如圖2，⊙O的兩條弦AB、CD相交于圓內一點P，求證：∠APC

m  .

1

2

(

AC

+

BD

)；
問題（2）：如圖3，⊙O的兩條弦AB、CD相交于圓外一點P，問題（1）中的結論是否成立，如果成立，給予證明；如果不成立，寫出一個類似的結論（不要求證明）

Answer 1

考點：圓周角定理

專題：

分析：（1）根據(jù)圓周角的度數(shù)等于其所對的弧的度數(shù)的一半，得∠AOB，連BC，可證得∠APC

m  .

1

2

(

AC

+

BD

)；
（2）問題（1）中的結論不成立．連BC，可以得到類似的結論為：∠BPC

m  .

1

2

(

BD

-

AC

)．

解答：證明：∵∠APB=

1

2

∠AOB
又∵∠AOB

m  .

∠

AB

，
∴∠APB

m  .

1

2

AB

即圓周角的度數(shù)等于其所對的弧的度數(shù)的一半．
問題（1）：證明：連BC，則∠APC=∠PCB+∠PBC，

∵∠PCB的度數(shù)等于弧BD的度數(shù)的一半，∠PBC的度數(shù)等于弧AC的度數(shù)的一半，
∴∠APC

m  .

1

2

(

AC

+

BD

)；
問題（2）：問題（1）中的結論不成立．
類似的結論為：∠APC

m  .

1

2

(

BD

-

AC

)，
證明：連接BC，則∠APC=∠BCD-∠PBC，
∵∠BCD的度數(shù)等于弧BD的度數(shù)的一半，∠PBC的度數(shù)等于弧AC的度數(shù)的一半，
∴∠APC

m  .

1

2

(

BD

-

AC

)．

點評：本題考查了圓周角定理以及圓心角、弧、弦之間的關系，是基礎知識要熟練掌握．