Question

已知，如圖①，∠MON=60°，點(diǎn)A、B為射線OM、ON上的動點(diǎn)（點(diǎn)A、B不與點(diǎn)O重合），且AB=，在∠MON的內(nèi)部、△AOB的外部有點(diǎn)P，且AP=BP，∠APB=120°.

(1)求AP的長；

(2)求證：點(diǎn)P在∠MON的平分線上；

(3)如圖②，點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)分別是四邊形AOBP

的邊AO，OB，BP，PA的中點(diǎn)，連接CD，DE，EF，

FC，OP. ①當(dāng)AB⊥OP時，請直接寫出四邊形CDEF的周長；②若四邊形CDEF的周長用t表示，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

解：

 (1) 過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q 

∵PA=PB，∠APB=120° ，AB=4，

∴AQ=AB=×4=2，∠APQ=∠APB=×120°=60°

在Rt△APQ中， sin∠APQ=

∴AP= ＝4

（2）證明：過點(diǎn)P分別作PS⊥OM于點(diǎn)S， PT⊥ON于點(diǎn)T

∴∠OSP=∠OTP=90°

在四邊形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，

∴∠APB=∠SPT=120°

∴∠APS=∠BPT

又∵∠ASP=∠BTP=90°， AP=BP，

∴△APS≌△BPT

 ∴PS=PT

∴點(diǎn)P在∠MON的平分線上（3） ①8+4

②4+4＜t≤8+4