Question

如圖，⊙O的直徑AB，C為圓周上一點，過點C作⊙O的切線l，過點B作l的垂線BD，垂足為D，BD與⊙O交于點E，連接EA、EC．
（1）求證：CA=CE；
（2）若AB=4，AC=2，求ED的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥l，而BD⊥l，則OC∥BD，根據(jù)圓周角定理得到∠AEB=90°，即BD⊥AE，所以O(shè)C⊥AE，根據(jù)垂徑定理得到CA弧=CE弧，所以CA=CE；
（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠DEC=∠CAB，則△CDE∽△BCA，然后根據(jù)相似比DE：AC=CE：AB可計算出DE．

解答：（1）證明：∵l與⊙O的相切于C點，
∴OC⊥l，
∵BD⊥l，
∴OC∥BD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴BD⊥AE，
∴OC⊥AE，
∴CA弧=CE弧，
∴CA=CE；
（2）連結(jié)BC，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠DEC=∠CAB，
∴△CDE∽△BCA，
∴DE：AC=CE：AB，
而CE=CA=2，
∴DE：2=2：4，
∴ED=1．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理、垂徑定理以及三角形相似的判定與性質(zhì)．