Question

如圖是反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），若點(diǎn)A是函數(shù)y=圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)B是x軸正半軸上一點(diǎn)，當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_______．

Answer 1

（4，0）或（，0）或（-1+，0）
分析：分∠CAB是直角，∠ACB是直角，∠ABC是直角三種情況進(jìn)行討論．
當(dāng)∠CAB=90°時(shí)，作AE⊥x軸于E點(diǎn)，作AD⊥y軸于D點(diǎn)．則易證△ADC≌△AEB，可以得到A的橫縱坐標(biāo)相等，求得A的坐標(biāo)，則BE=CD，從而求得OB的長(zhǎng)度，得到B的坐標(biāo)；
當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，作AD⊥y軸于D，易證△ACD≌△CBO，則A的橫坐標(biāo)可以求得，進(jìn)而求得A的縱坐標(biāo)，根據(jù)OB=CD，則B的坐標(biāo)可以得到；
當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，作AD⊥x軸，則△OBC≌△BAD，BD=OC=2，OB=AD，設(shè)OB=AD=x，則OD=x+2，則A的坐標(biāo)是（x+2，x），代入y=，求得x的值，得到B的坐標(biāo)．
解答：解：1）當(dāng)∠CAB=90°時(shí)，如圖（1），作AE⊥x軸于E點(diǎn)，作AD⊥y軸于D點(diǎn)．則∠DAE=90°，
∵∠DAE=∠CAB=90°，
∴∠DAC=∠EAB，
在△ADC和△AED中：
∵
∴△ADC≌△AEB
∴AD=AE，BE=CD
則A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，設(shè)A的坐標(biāo)是（a，a），代入函數(shù)解析式得：a=，解得：a=3或-3（舍去）．
則A的坐標(biāo)是（3，3）．
∴OD=3，CD=OD-OC=3-2=1，
∴BE=CD=1，OB=OE+BE=3+1=4，
則B的坐標(biāo)是（4，0）；
2）當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，如圖（2），作AD⊥y軸于D．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCO=90°，
又∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠BCO
在△ACD和△CBO中，
∵
∴△ACD≌△CBO，
∴AD=OC=2，
則A的橫坐標(biāo)是2，把x=2代入y=得：y=，
∴OD=，CD=OD-OC=-2=，
∴OB=CD=，則B的坐標(biāo)是（，0）；
3）當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，如圖（3），作AD⊥x軸，
同（2）可以證得：△OBC≌△BAD，
∴BD=OC=2，OB=AD，
設(shè)OB=AD=x，
則OD=x+2，
則A的坐標(biāo)是（x+2，x），代入y=，得：x=，解得：x=-1+或-1-（舍去），
則B的坐標(biāo)是（-1+，0）．
則B的坐標(biāo)是：（4，0）或（，0）或（-1+，0）．
故答案是：（4，0）或（，0）或（-1+，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與三角形的全等的綜合應(yīng)用，正確作出輔助線，得到三角形全等是關(guān)鍵．