【題目】如圖,菱形ABCD中,點(diǎn)PCD的中點(diǎn),∠BCD=60°,射線APBC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,射線BPDE于點(diǎn)K,點(diǎn)O是線段BK的中點(diǎn),作BM⊥AE于點(diǎn)M,作KN⊥AE于點(diǎn)N,連結(jié)MO、NO,以下四個(gè)結(jié)論:①△OMN是等腰三角形;②tan∠OMN=;③BP=4PK④PMPA=3PD2,其中正確的是( 。

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】B

【解析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)角相等,根據(jù)全等三角形的判定定理△ADP≌△ECP,由相似三角形的性質(zhì)得到AD=CE,作PI∥CEDEI,根據(jù)點(diǎn)PCD的中點(diǎn)證明CE=2PI,BE=4PI,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,得到BP=3PK,故錯(cuò)誤;作OG⊥AEG,根據(jù)平行線等分線段定理得到MG=NG,又OG⊥MN,證明△MON是等腰三角形,故正確;根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出∠OMN=,故正確;然后根據(jù)射影定理和三角函數(shù)即可得到PMPA=3PD2,故正確.

解:作PI∥CEDEI

四邊形ABCD為菱形,

∴AD∥BC,

∴∠DAP=∠CEP,∠ADP=∠ECP

△ADP△ECP中,

,

∴△ADP≌△ECP,

∴AD=CE

,又點(diǎn)PCD的中點(diǎn),

∵AD=CE,

,

∴BP=3PK,

錯(cuò)誤;

OG⊥AEG,

∵BMAEM,KNAEN,

∴BM∥OG∥KN,

點(diǎn)O是線段BK的中點(diǎn),

∴MG=NG,又OG⊥MN,

∴OM=ON,

△MON是等腰三角形,故正確;

由題意得,△BPC,△AMB,△ABP為直角三角形,

設(shè)BC=2,則CP=1,由勾股定理得,BP=

AP=,

根據(jù)三角形面積公式,BM=

點(diǎn)O是線段BK的中點(diǎn),

∴PB=3PO,

∴OG=BM=

MG=MP=,

tan∠OMN=,故正確;

∵∠ABP=90°,BM⊥AP,

∴PB2=PMPA,

∵∠BCD=60°,

∴∠ABC=120°

∴∠PBC=30°,

∴∠BPC=90°

∴PB=PC,

∵PD=PC,

∴PB2=3PD

∴PMPA=3PD2,故正確.

故選B

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