Question

如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與BC交于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，ED的延長(zhǎng)線與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，BE=1，求∠A的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，求圖形中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)圓周角定理以及中位線定理和平行線的性質(zhì)得出DO⊥DE即可得出；
（2）根據(jù)DO∥AE，得出△FOD∽△FAE，即可得出

FO

FA

=

DO

AE

，進(jìn)而求出FC的長(zhǎng)得出cosA=

AE

AF

的值，即可得出∠A的度數(shù)；
（3）首先得出OM是△ABC的中位線以及四邊形ODBM是平行四邊形，進(jìn)而得出∠COM的度數(shù)和S_△DOF以及S_扇形COM和平行四邊形ODBM的面積，即可得出陰影部分的面積．

解答：（1）證明：連接AD、OD，
∵AC是直徑，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴D是BC的中點(diǎn)，
又∵O是AC的中點(diǎn)，
∴DO∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DO⊥DE，
又∵點(diǎn)D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知DO∥AE，
∴△FOD∽△FAE，
∴

FO

FA

=

DO

AE

，
∴

FC+OC

FC+AC

=

DO

AB-BE

，
∴

FC+2

FC+4

=

2

4-1

，
解得：FC=2，
∴AF=6，
∴cosA=

AE

AF

=

AB-BE

AF

=

4-1

6

=

1

2

，
∴∠A=60°；

（3）解：連接OM，
∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等邊三角形，OF=OC+CF=2+2=4，
同理可得：OM是△ABC的中位線，
∴四邊形ODBM是平行四邊形，
∴∠FOD=60°，∠MOD=60°，
∴∠COM=120°，
∴DF=

1

2

OF•sin60°=

3

2

×4=2

3

，
S_△DOF=

1

2

DO•OF=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
DB=

1

2

BC=

1

2

AC=2，
DE=DB•sin60°=2×

3

2

=

3

，
S_扇形COM=

120

360

π•2²=

4

3

π，
平行四邊形ODBM的面積=DO•DE=2×

3

=2

3

，
S_陰影=2

3

+2

3

-

120

360

π•2²=4

3

-

4

3

π．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系、中位線定理扇形面積公式等知識(shí)，得出四邊形ODBM是平行四邊形是解題關(guān)鍵．