【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c過點(diǎn)A(0,﹣6)、B(﹣2,0),與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)C.

(1)求此拋物線的解析式;

(2)將直線AC向下平移m個(gè)單位,使平移后的直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M,求m的值及點(diǎn)M的坐標(biāo);

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PAC為直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=x2﹣2x﹣6;(2)m=,M(3,﹣);(3)點(diǎn)P(2,﹣8),(﹣4,10),(1+,﹣5﹣),(1﹣,﹣5+).

【解析】試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式;

(2)由直線向下平移m個(gè)單位得:y=x-6-m,由直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M可以知道:由解析式列方程組,根據(jù)△=0得出結(jié)論;

(3)分三種情況:

①當(dāng)∠PAC=90°時(shí),如圖1,由△EAC是等腰直角三角形,可得E(-6,0),直線AP與拋物線的交點(diǎn)就是P,列方程組可得P點(diǎn)的坐標(biāo);

②當(dāng)∠ACP=90°時(shí),如圖2,由PE=EC,列式:x2-2x-6=-x-6,解出即可;

③當(dāng)∠APC=90°時(shí),如圖3,畫圖,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角,可知有兩個(gè)點(diǎn)符合,設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)AC2,PA2,PC2的值,由勾股定理可得關(guān)于P點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)的等量關(guān)系,聯(lián)立拋物線的解析式,即可求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析:解:(1)把點(diǎn)A(0,﹣6)、B(﹣2,0)代入拋物線y=x2+bx+c中得:

,

解得:,

∴拋物線的解析式為:y=x2﹣2x﹣6;

(2)y=x2﹣2x﹣6,

當(dāng)y=0時(shí),x2﹣2x﹣6=0,

解得:x1=﹣2,x2=6,

∴C(6,0);

設(shè)直線AC的解析式為:y=kx+b,

,

解得:,

∴直線AC的解析式為:y=x﹣6,

直線AC向下平移m個(gè)單位后的直線關(guān)系式為:y=x﹣6﹣m,

∵平移后的直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)M,

得: =0,

△=(﹣3)2﹣4×m=0,

m=,

代入得:y=x﹣6﹣m=x﹣,

解得:,

∴M(3,﹣);

(3)分三種情況:

①當(dāng)∠PAC=90°時(shí),如圖1,

∵OA=OC=6,∠AOC=90°,

∴△AOC是等腰直角三角形,

∴∠ACO=45°,

∴△EAC是等腰直角三角形,

∴AE=AC,

∴OE=OC=6,

∴E(﹣6,0),

設(shè)AE:y=kx+b,

,解得:,

∴直線AE的解析式為:y=﹣x﹣6,

,

﹣2x﹣6=﹣x﹣6,

解得:x1=0(舍),x2=2,

∴P(2,﹣8),

②當(dāng)∠ACP=90°時(shí),如圖2,

∠PCB=90°﹣45°=45°,

PPE⊥BCE,

∴△PEC是等腰直角三角形,

∴PE=EC,

設(shè)P(x, x2﹣2x﹣6),

∴PE=x2﹣2x﹣6,EC=﹣x﹣6,

x2﹣2x﹣6=﹣x﹣6,

解得:x1=6,x2=﹣4,

∵P在第二象限,

∴x=6不符合題意,舍去,x=﹣4,

∴P(﹣4,10),

③以AC為直徑畫圓,交拋物線于兩點(diǎn)P1、P2,如圖3,

則∠AP1C=∠AP2C=90°,

=,

=,

AC2=62+62=72,

由勾股定理得: +=72,

化簡(jiǎn)得:x3﹣8x2+8x+24=0,

x3﹣2x2﹣4x﹣(6x2﹣12x﹣24)=0,

x(x2﹣2x﹣4)﹣6(x2﹣2x﹣4)=0,

(x﹣6)(x2﹣2x﹣4)=0,

解得:x1=6(舍),x2=1+,x3=1﹣,

∴P(1+,﹣5﹣)或(1﹣,﹣5+),

綜上所述,△PAC為直角三角形時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(2,﹣8),(﹣4,10),(1+,﹣5﹣),(1﹣,﹣5+).

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【題目】綜合與實(shí)踐

元且期間,我市各大商場(chǎng)掀起購(gòu)物狂湖,現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)商場(chǎng)開展的促銷活動(dòng)如表所示:

商場(chǎng)

優(yōu)惠活動(dòng)

全場(chǎng)按標(biāo)價(jià)的折銷售

實(shí)行“滿元的購(gòu)物券”的優(yōu)惠,購(gòu)物券可以在再購(gòu)買時(shí)沖抵現(xiàn)金

(如:顧客購(gòu)衣服元, 贈(zèng)券元,再購(gòu)買褲子計(jì)可沖抵現(xiàn)金,不再送券)

實(shí)行“滿元減元”的優(yōu)惠(如:某顧客購(gòu)物元,他只需付款元)

根據(jù)以上活動(dòng)信息,解決以下問題:

(1)三個(gè) 商場(chǎng)同時(shí)出售一件標(biāo)價(jià)元的上衣和一條標(biāo)價(jià)元的褲子,王阿姨想買這一套衣服,她應(yīng)該選擇哪家商場(chǎng)更劃算?

(2) 先生發(fā)現(xiàn)在甲、乙商場(chǎng)同時(shí)出售一件標(biāo)價(jià)元的上衣和一條標(biāo)價(jià)多元的褲子,最后付款也一樣,諸問這條褲子的標(biāo)價(jià)是多少元?

(3)丙商場(chǎng)又推出 “先打折”,“再滿元”的活動(dòng),張先生買了一件標(biāo)價(jià)為元的上衣,張先生發(fā)現(xiàn)竟然比沒打折前多付了元錢,問丙商場(chǎng)先打了多少折后再參加活動(dòng)?

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A. B. C. D.

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1)本次共抽取了多少人?并請(qǐng)將圖1的條形圖補(bǔ)充完整;

2)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是________;求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù);

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2)請(qǐng)指出在解答時(shí)利用的等量關(guān)系是什么?

3)請(qǐng)你利用其它的等量關(guān)系再列出方程.

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