Question

已知直角三角形的三邊a、b、c都是正整數(shù)，c為斜邊，k為正整數(shù)，且a+b+c=

k

2

ab．
問：當(dāng)k為何值時這樣的三角形存在，并求c的值．

Answer 1

考點：三角形邊角關(guān)系,約數(shù)與倍數(shù),完全平方式,平方差公式,勾股定理,勾股數(shù)

專題：探究型

分析：根據(jù)勾股定理可得a²+b²=c²，運用完全平方公式可推出（a+b）²-c²=2ab，然后運用平方差公式可得到k=

4

a+b-c

，然后由k、a、b、c都是正整數(shù)可得a+b-c是4的正約數(shù)（1或2或4），然后觀察勾股數(shù)組（a逐漸增大）所對應(yīng)的a+b-c的值，即可解決問題．

解答：解：∵a、b、c是直角三角形的三邊，c為斜邊，
∴a²+b²=c²，
∴（a+b）²-c²=a²+b²+2ab-c²=2ab．
∵a+b+c=

k

2

ab，
∴2ab=（a+b）²-c²=（a+b+c）（a+b-c）=

k

2

•ab•（a+b-c），
∴k=

4

a+b-c

．
∵k、a、b、c都是正整數(shù)，
∴a+b-c是4的正約數(shù)（1或2或4）．
觀察以下勾股數(shù)組（a逐漸增大）對應(yīng)的a+b-c的值：
當(dāng)a=3，b=4，c=5時，a+b-c=2；
當(dāng)a=5，b=12，c=13時，a+b-c=4；
當(dāng)a=6，b=8，c=10時，a+b-c=4；
當(dāng)a=7，b=24，c=25時，a+b-c=6；
當(dāng)a=8，b=15，c=17時，a+b-c=6；
當(dāng)a=9，b=12，c=15時，a+b-c=6；
…
可知：①當(dāng)k=1時，a+b-c=4，此時三角形存在，c的值為10或13；
②當(dāng)k=2時，a+b-c=2，此時三角形存在，c的值為5；
③當(dāng)k=4時，a+b-c=1，此時三角形不存在．
綜上所述：當(dāng)k=1時，滿足條件的三角形存在，對應(yīng)c的值為10或13；當(dāng)k=2時，滿足條件的三角形存在，對應(yīng)c的值為5．

點評：本題考查了勾股定理、完全平方公式、平方差公式、勾股數(shù)、約數(shù)等知識，有一定的難度，而推出k=

4

a+b-c

則是解決本題的關(guān)鍵．