【題目】如圖,點(diǎn)P⊙O 外一點(diǎn),PA⊙O于點(diǎn)A,AB⊙O的直徑,連接OP,過(guò)點(diǎn)BBC∥OP⊙O于點(diǎn)C,連接ACOP于點(diǎn)D

1)求證:PC⊙O的切線;

2)若PD=cm,AC=8cm,求圖中陰影部分的面積;

3)在(2)的條件下,若點(diǎn)E的中點(diǎn),連接CE,求CE的長(zhǎng).

【答案】1)參見(jiàn)解析;(2;(3cm

【解析】

(1)連接OC,證明△PAO≌△PCO,得到∠PAO=∠PCO=90 ,證明結(jié)論;

(2)證明△ADO∽△PDA,得到成比例線段求出BC的長(zhǎng),根據(jù)S=S半⊙OSACB求出答案;

(3)連接AEBE,過(guò)點(diǎn)BBMCE于點(diǎn)M,分別求出CM和EM的長(zhǎng),求和得到答案.

證明: ⑴如圖,連接OC,

PA切⊙OA

∴∠PAO=90.

OPBC

∴∠AOP=∠OBC,∠COP=∠OCB

OC=OB,

∴∠OBC=∠OCB,

∴∠AOP=∠COP

又∵OA=OCOP=OP,

∴△PAO≌△PCO (SAS).

∴∠PAO=∠PCO=90 ,

又∵OC是⊙O的半徑,

PC是⊙O的切線.

⑵解法一:

由(1)得PA,PC都為圓的切線,

PA=PC,OP平分∠APC,∠ADO=∠PAO=90 ,

∴∠PAD+DAO=∠DAO+AOD

∴∠PAD =∠AOD,

∴△ADO∽△PDA

,

AC=8, PD=

AD=AC=4,OD=3,AO=5,

由題意知OD為△ABC的中位線,

BC=2OD=6,AB=10.

S=S半⊙OSACB=

答:陰影部分的面積為

解法二:

AB是⊙O的直徑,OPBC,

∴∠PDC=∠ACB=90.

∵∠PCO=90 ,

∴∠PCD+∠ACO=∠ACO+∠OCB=90 ,

即∠PCD=∠OCB

又∵∠OBC =∠OCB,

∴∠PCD=∠OBC

∴△PDC∽△ACB,

又∵AC=8, PD=,

AD=DC=4,PC=

,

CB=6,AB=10,

S=S半⊙O-SACB=

答:陰影部分的面積為

(3)如圖,連接AE,BE,過(guò)點(diǎn)BBMCE于點(diǎn)M.

∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90,

又∵點(diǎn)E的中點(diǎn),

∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45,CM=MB =,BE=ABcos45=,

EM=

CE=CM+EM=

“點(diǎn)睛”本題考查的是切線的判定和性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算和相似三角形的判定和性質(zhì),靈活運(yùn)用切線的性質(zhì):圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑和切線的判定是解題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)甲從中任取一球,不放回,再?gòu)闹腥稳∫磺,?qǐng)用樹(shù)狀圖的方法,求出甲取出的兩個(gè)球上的漢字恰能組成“靈秀”或“黃岡”(漢字不分先后順序)的概率

(3)乙從中任取一球,記下漢字后再放回袋中,然后再?gòu)闹腥稳∫磺,記乙取出的兩個(gè)球上的漢字恰能組成“靈秀”或“黃岡”(漢字不分先后順序)的概率為,請(qǐng)直接寫出的值,并比較,的大。2+3+2=7)

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