Question

如圖，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點D是BC上的任意一點，探究：BD²+CD²與AD²的關系，并證明你的結論．

Answer 1

探究得到的關系為：BD²+CD²=2AD²
證明：作AE⊥BC于E，如上圖所示：
由題意得：ED=BE-BD=CD-CE，
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE=BC，
由勾股定理可得：
AB²+AC²=BC²，
∵AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，AD²=AE²+ED²，
∴2AD²=2AE²+2ED²=AB²-BE²+（BE-BD）²+AC²-CE²+（CD-CE）²
=AB²+AC²+BD²+CD²-2BD×BE-2CD×CE，
=AB²+AC²+BD²+CD²-2×BC×BC，
=BD²+CD²，
即：BD²+CD²=2AD²．
分析：探究得到的關系為：BD²+CD²=2AD²，作AE⊥BC于E，由于∠BAC=90°，AB=AC，所以BE=CE，要證明BD²+CD²=2AD²，只需找出BD、CD、AD三者之間的關系即可，由勾股定理可得出AD²=AE²+ED²，AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，ED=BE-BD=CD-CE，代入求出三者之間的關系即可得證．
點評：本題主要考查勾股定理，關鍵在于找出直角三角形利用勾股定理求證，本題主要運用“等量代換”求出BD、CD、AD三者之間的關系．