Question

如圖，已知拋物線y=ax²-4x+c經(jīng)過點A（0，-6）和B（3，-9）．
（1）求出拋物線的解析式；寫出拋物線的對稱軸方程及頂點坐標；
（2）拋物線與x軸交于C、D兩點，在拋物線上能否找一點N使三角形CDN的面積是三角形CDA的1.5倍？若存在求出N點坐標，不存在說明理由；
（3）若點P（m，m）與點Q均在拋物線上（其中m＞0），且這兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．在拋物線的對稱軸上尋找一點M，使得△QMA的周長最�。�

Answer 1

分析：（1）將點A（0，-6）和B（3，-9）分別代入解析式，組成方程組即可求出a、c的值，從而得到函數(shù)解析式，由此求出對稱軸方程及頂點坐標；
（2）根據(jù)三角形CDN的面積是三角形CDA的1.5倍，求出三角形CDN的高，將高作為N點縱坐標，代入函數(shù)解析式，求出N的橫坐標，即可得到N的坐標；
（3）將P（m，m）代入解析式得到P的坐標，再求出函數(shù)的對稱軸，根據(jù)對稱性求出Q點坐標，利用軸對稱最短路徑問題的解法，找到M點，再求出AP的解析式，將M橫坐標代入解析式，從而得到M的坐標．

解答：解：（1）將點A（0，-6）和B（3，-9）分別代入y=ax²-4x+c得，

c=-6 9a-12+c=-9

，
解得

a=1 c=-6

．
故解析式為y=x²-4x-6，即y=（x-2）²-10，對稱軸為x=-

b

2a

=-

-4

2

=2，頂點坐標為（2，-10）．

（2）當y=0時，x²-4x-6=0，
解得x₁=2-

10

；x₂=2+

10

；
則C（2-

10

，0），D（2+

10

，0），
∵三角形CDN的面積是三角形CDA的1.5倍，
∴三角形CDN的高是三角形CDA高的1.5倍，
則三角形CDN的高是6×1.5=9，
則x²-4x-6=9或x²-4x-6=-9，
解x²-4x-6=9得，
x₃=2+

19

，x₄=2-

19

．
解x²-4x-6=-9得，
x₅=1，x₆=3．
故N點坐標為（2+

19

，9）（2-

19

，9）；（1，-9）或（3，-9）．

（3）將P（m，m）代入解析式得，m²-4m-6=m，即（m+1）（m-6）=0，
解得m=-1（舍去），m=6．
則P（6，6）．
二次函數(shù)對稱軸為x=-

-4

2×1

=2，
∵P、Q關(guān)于對稱軸對稱，
∴Q點縱坐標為6，橫坐標為-2，
∴Q點坐標為（-2，6）．
如圖：連接PA，與對稱軸交點即為M，
此時，△QMA的周長最小，
設(shè)A、P所在直線解析式為y=kx+b，
將（0，-6），（6，6）分別代入解析式得，

6k+b=6 b=-6

，
解得

k=2 b=-6

．
故函數(shù)解析式為y=2x-6；
當x=2時，y=-2，
即M點坐標為（2，-2）時，△QMA的周長最�。�

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了二次函數(shù)與x軸的交點問題、軸對稱最短路徑問題及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，綜合性極強，要對初中數(shù)學知識有全面理解方可正確解答．