Question

【題目】為迎接北京2022年冬奧會(huì)，某工藝廠準(zhǔn)備生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志與奧運(yùn)會(huì)吉祥物，該廠主要用甲、乙兩種原料．已知生產(chǎn)一套奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志需要甲原料和乙原料分別為4盒和3盒，生產(chǎn)一套奧運(yùn)會(huì)吉祥物需要甲原料和乙原料分別為5盒和10盒．該廠購(gòu)進(jìn)甲、乙原料的量分別為20000盒和30000盒，如果所進(jìn)原料全部用完．

（1）求該廠能生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志和奧運(yùn)會(huì)吉祥物各多少套？

（2）如果奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志的成本為16元，奧運(yùn)會(huì)吉祥物的成本為15元，若東營(yíng)客商購(gòu)進(jìn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志和奧運(yùn)會(huì)吉祥物共250件進(jìn)行試銷，其中奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志的件數(shù)不大于奧運(yùn)會(huì)吉祥物的件數(shù)，且不小于80件，已知奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志的售價(jià)為24元/件，奧運(yùn)會(huì)吉祥物的售價(jià)為22元/件，且全部售出，設(shè)購(gòu)進(jìn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志m件，求該客商銷售這批商品的利潤(rùn)y與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，東營(yíng)客商決定在試銷活動(dòng)中毎售出一件奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志，就從一件奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志的利潤(rùn)中捐獻(xiàn)慈善資金a元，求該客商售完所有商品并捐獻(xiàn)資金后獲得的最大收益．

Answer 1

【答案】（1）該廠能生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志2000套，能生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)吉祥物2400套；（2）80≤m≤125；（3）當(dāng)m＝80時(shí)，w取最大值，最大收益為[80（1﹣a）+1750]元．

【解析】

（1）設(shè)該廠能生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志x套，能生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)吉祥物z套，根據(jù)該廠購(gòu)進(jìn)甲、乙原料的數(shù)量，即可得出關(guān)于x、z的二元一次方程，解之即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志m件，則購(gòu)進(jìn)奧運(yùn)會(huì)吉祥物（250﹣m）件，根據(jù)總利潤(rùn)＝單價(jià)利潤(rùn)×購(gòu)進(jìn)數(shù)量，即可得出y關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再由奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志的件數(shù)不大于奧運(yùn)會(huì)吉祥物的件數(shù)且不小于80件，即可得出m的取值范圍；

（3）設(shè)該客商售完所有商品并捐獻(xiàn)資金后獲得的收益為w元，根據(jù)收益＝利潤(rùn)﹣捐獻(xiàn)總資金，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題．

（1）設(shè)該廠能生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志x套，能生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)吉祥物z套，

根據(jù)題意得：，

解得：．

答：該廠能生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志2000套，能生產(chǎn)奧運(yùn)會(huì)吉祥物2400套．

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志m件，則購(gòu)進(jìn)奧運(yùn)會(huì)吉祥物（250﹣m）件，

根據(jù)題意得：y＝（24﹣16）m+（22﹣15）（250﹣m）＝m+1750．

∵奧運(yùn)會(huì)標(biāo)志的件數(shù)不大于奧運(yùn)會(huì)吉祥物的件數(shù)，且不小于80件，

∴，

∴80≤m≤125．

（3）設(shè)該客商售完所有商品并捐獻(xiàn)資金后獲得的收益為w元，

根據(jù)題意得：w＝y﹣am＝（1﹣a）m+1750（80≤m≤125），

∴①當(dāng)a＜1時(shí)，1﹣a＞0，

∴w隨m值的增大而增大，

∴當(dāng)m＝125時(shí)，w取最大值，最大收益為[125（1﹣a）+1750]元；

②當(dāng)a＝1時(shí)，1﹣a＝0，

∴w＝1750，即在80≤m≤125中，該客商均為1750元；

③當(dāng)a＞1時(shí)，1﹣a＜0，

∴w隨x值的增大而減小，

∴當(dāng)m＝80時(shí)，w取最大值，最大收益為[80（1﹣a）+1750]元．