Question

（13分）如圖，等腰△OAB在直角坐標(biāo)系中的位置如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-6，0）.

（1）若△OAB關(guān)于y軸的軸對(duì)稱圖形是三角形OA′B′，請(qǐng)直接寫出A、B的對(duì)稱點(diǎn)A′、B′的坐標(biāo)；

（2）若將三角形OAB沿x軸向右平移a個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)A恰好落在反比例函數(shù) 的圖像上，求a的值；

（3）若△OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)α度（0＜α＜90）．

①當(dāng)α=30°時(shí)點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù) 的圖象上，求k的值；

②問(wèn)點(diǎn)A、B能否同時(shí)落在①中的反比例函數(shù)的圖象上，若能，求出α的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）由于△OAB關(guān)于y軸的軸對(duì)稱圖形是△OA'B'，所以A、A′關(guān)于y軸對(duì)稱，B、B′關(guān)于y軸對(duì)稱；已知：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣6，0），故：A′（，3），B'（6，0）．

（2）設(shè)點(diǎn)A平移后落在雙曲線上時(shí)，坐標(biāo)為A′（m，n），∵A（，3），由已知得n=3，

代入，求得m＝；∴平移的距離a＝|﹣（）|＝；

（3）①B′的縱坐標(biāo)是：﹣6sinα＝－6×sin30°＝－3，橫坐標(biāo)是：－6cosα＝－6cos30°＝﹣3，B′的坐標(biāo)是：（，﹣3）∴k＝×（﹣3）＝；

②∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（，3），∴OA＝6，∴OA＝OB＝6，∴tan∠AOB＝，∴∠AOB=30°，當(dāng)∠BOA″＝30°時(shí)，則∠BOB″＝60°，A″的坐標(biāo)為（，﹣3），B″的坐標(biāo)為（﹣3，），∴此時(shí)點(diǎn)A、B能同時(shí)落在①中的反比例函數(shù)的圖象上；同理：α＝240°也符合題意；∴α＝60°或240°．

【解析】

（1）若△OAB、△OA′B′關(guān)于y軸對(duì)稱，那么A、A′以及B、B′都關(guān)于y軸對(duì)稱，可據(jù)此得到A′、B′的坐標(biāo)；（2）根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)為（，3），將△OAB沿x軸向右平移a個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)A恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則平移以后點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，把y=3代入解析式就可以得到A點(diǎn)平移后的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，得到a的值；（3） △OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)30度，就可以求出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)的解析式，就可以求出k的值．

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式．