Question

已知：如圖，O正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連接DF，交BE的延長線于點G，連接OG．
（1）求證：△BCE≌△DCF；
（2）OG與BF有什么數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（3）若GE•GB=4-2

2

，求正方形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定方法尋找條件．
（2）因為O是BD的中點，結(jié)合已知條件，知道證明G是DF中點即可．
（3）要求正方形的面積，求出邊長的平方即可，為此要找到一個關(guān)于邊長的方程，因為已知中有直角，根據(jù)勾股定理，結(jié)合已知條件，列出方程，求出答案．

解答：（1）證明：在△BCE與△DCF中，
∵

BC=DC ∠BCE=∠DCF=90° CE=CF

，
∴△BCE≌△DCF．

（2）解：OG=

1

2

BF．
理由如下：∵△BCE≌△DCF，
∴∠CEB=∠F，
∵∠CEB=∠DEG，
∴∠F=∠DEG，
∵∠F+∠GDE=90°，
∴∠DEG+∠GDE=90°，
∴BG⊥DF，
∴∠BGD=∠BGF，
又∵BG=BG，∠DBG=∠FBG，
∴△BGD≌△BGF，
∴DG=GF，
∵O為正方形ABCD的中心，
∴DO=OB，
∴OG是△DBF的中位線，
∴OG=

1

2

BF．

（3）解：設(shè)BC=x，則DC=x，BD=

2

x，
由（2）知，△BGF≌△BGD，
∴BF=BD，
∴CF=（

2

-1）x，
∵∠DGB=∠EGD，∠DBG=∠EDG，
∴△GDB∽△GED，
∴

GD

GE

=

GB

GD

，
∴GD²=GE•GB=4-2

2

，
∵DC²+CF²=（2GD）²，
∴x²+（

2

-1）²x²=4（4-2

2

），
（4-2

2

）x²=4（4-2

2

），
x²=4，
正方形ABCD的面積是4個平方單位．

點評：本題綜合考查了全等三角形、正方形、相似三角形的有關(guān)知識．注意對全等，相似的綜合運用．