Question

【題目】如圖1，AB為⊙O的直徑，點P是直徑AB上任意一點，過點P作弦CD⊥AB，垂足為P，過點B的直線與線段AD的延長線交于點F，且∠F=∠ABC．

（1）若CD=，BP=4，求⊙O的半徑；
（2）求證：直線BF是⊙O的切線；
（3）當點P與點O重合時，過點A作⊙O的切線交線段BC的延長線于點E，在其它條件不變的情況下，判斷四邊形AEBF是什么特殊的四邊形？請在圖2中補全圖象并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）

解：CD⊥AB，

∴PC=PD=CD=，

如圖，連接OC，

設⊙O的半徑為r，則PO=PB﹣r=4﹣r，

在RT△POC中，OC2=OP2+PC2，

即r2=（4﹣r）2+（）2，解得r=．

（2）

證明：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，

∴∠ABF=∠CPB，

∵CD⊥AB，

∴∠ABF=∠CPB=90°，

∴直線BF是⊙O的切線；

（3）

解：四邊形AEBF是平行四邊形；

理由：如圖2所示：

∵CD⊥AB，垂足為P，

∴當點P與點O重合時，CD=AB，

∴OC=OD，

∵AE是⊙O的切線，

∴BA⊥AE，

∵CD⊥AB，

∴DC∥AE，

∵AO=OB，

∴OC是△ABE的中位線，

∴AE=2OC，

∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC．

∴∠D=∠F，

∴CD∥BF，

∵AE∥BF，

∵OA=OB，

∴OD是△ABF的中位線，

∴BF=2OD，

∴AE=BF，

∴四邊形AEBF是平行四邊形．

【解析】（1）根據(jù)垂徑定理求得PC，連接OC，根據(jù)勾股定理求得即可；
（2）求得△PBC∽△BFA，根據(jù)相似三角形對應角相等求得∠ABF=∠CPB=90°，即可證得結論；
（3）通過證得AE=BF，AE∥BF，從而證得四邊形AEBF是平行四邊形．
此題考查了圓的綜合應用，涉及知識點有垂徑定理，勾股定理，相似三角形性質和平行四邊形判定.