Question

如圖，CE、CB分別是△ABC與△ADC的中線，且∠ACB=∠ABC．求證：CD=2CE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：過B作BF∥AC交CE的延長線于F，由E為AB中點，得到AE=EB，再由BF與AC平行，得到兩對內(nèi)錯角相等，利用AAS得到三角形ACE與三角形BFE全等，利用全等三角形的對應邊相等得到CE=EF，AC=BF，即CF=2CE，再由已知角相等，利用等角對等邊得到AC=AB，根據(jù)B為AD中點，得到AC=AB=BD=BF，利用外角性質(zhì)及等量代換得到夾角相等，利用SAS得到三角形CBD與三角形CBF全等，利用全等三角形對應邊相等得到CD=CF，等量代換即可得證．

解答：證明：過B作BF∥AC交CE的延長線于F，
∵CE是中線，BF∥AC，
∴AE=BE，∠A=∠ABF，∠ACE=∠F，
在△ACE和△BFE中，

∠A=∠ABF ∠ACE=∠F AE=BE

，
∴△ACE≌△BFE（AAS），
∴CE=EF，AC=BF，
∴CF=2CE，
又∵∠ACB=∠ABC，CB是△ADC的中線，
∴AC=AB=BD=BF，
∵∠DBC=∠A+∠ACB=∠ABF+∠ABC，
∴∠DBC=∠FBC，
在△DBC和△FBC中，

DB=FB ∠DBC=∠FBC BC=BC

，
∴△DBC≌△FBC（SAS），
∴DC=CF=2CE．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．