Question

已知在平面直角坐標系內(nèi)有一直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．
（1）若不論m為何值，直線l都經(jīng)過一定點，試求這個定點的坐標；
（2）若以A（1，2）為圓心，3為半徑畫⊙A，求⊙A被直線l截得的最短弦長．

Answer 1

考點：垂徑定理,一次函數(shù)圖象上點的坐標特征,勾股定理

專題：

分析：（1）直線方程即 m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，一定經(jīng)過2x+y-7=0和x+y-7=0 的交點，聯(lián)立方程組可求定點的坐標；
（2）設定點為P（3，1），由于經(jīng)過P點的直線l⊥AP時⊙A被直線l截得的弦最短，先求得AP，再根據(jù)勾股定理求得PC，進而求得弦BC的長，即可求得⊙A被直線l截得的最短弦長．

解答：解：（1）直線：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．
即 m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，
根m的任意性可得

2x+y-7=0 x+y-4=0

，
解得

x=3 y=1

，
∴不論m為何值，直線l都經(jīng)過一定點（3，1）．

（2）設定點為P（3，1），
∵經(jīng)過P點的直線l⊥AP時⊙A被直線l截得的弦最短，
∵A（1，2），P（3，1），
∴AP=

11+22

=

5

，
∵AC=3，
∴PC=

AC2-AP2

=2
∴BC=2PC=4，
∴⊙A被直線l截得的最短弦長為4．

點評：本題考查經(jīng)過兩直線交點的直線系方程形式，直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．