Question

（2012•錫山區(qū)一模）如圖，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為C（0，-

3

），與x軸交于點(diǎn)A、B，連接AC、BC，得等邊△ABC．T點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)S從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒

3

個(gè)單位的速度向y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，TS交射線(xiàn)BC于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)T到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)S停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)△TSC的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（3）以點(diǎn)T為圓心，TB為半徑的圓與射線(xiàn)BC交于點(diǎn)E，試說(shuō)明：在點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線(xiàn)段ED的長(zhǎng)是一定值，并求出該定值．

Answer 1

分析：（1）已知△ABC是等邊三角形，且OC⊥AB，根據(jù)OC的長(zhǎng)和等邊三角形的特點(diǎn)即可求得OA、OB的長(zhǎng)，由此得到A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式．
（2）△TCS的面積可由（

1

2

•OT•CS）求得，用t表示出OT、CS的長(zhǎng)即可（注意t在不同的取值范圍內(nèi)，T的位置）．
（3）由題意，易知TB、TE都是⊙T的半徑，所以△TBE是等邊三角形，顯然有TB=TE=t，然后過(guò)D作y軸的垂線(xiàn)，通過(guò)構(gòu)建的相似三角形可求得CD的長(zhǎng)，然后利用線(xiàn)段間的和差關(guān)系來(lái)判斷DE的長(zhǎng)是否為定值．

解答：解：（1）∵y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)是（0，-

3

），
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，
∴b=0，故可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式是：y=ax²-

3

，
又∵三角形ABC是等邊三角形，且有CO⊥AB，CO=

3

∴AO=1，∴A（-1，0）
把點(diǎn)A代入y=ax²-

3

，得a=

3

∴拋物線(xiàn)的解析式是y=

3

x²-

3

．

（2）當(dāng)0＜t＜1時(shí)，OT=1-t，CS=

3

t；
∴S=

1

2

OT•CS=

1

2

（1-t）

3

t=-

3

2

t²+

3

2

t；
當(dāng)1＜t＜2時(shí)，OT=t-1，CS=

3

t；
∴S=

1

2

OT•CS=

1

2

（t-1）

3

t=

3

2

t²-

3

2

t；
綜上，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=

- 3 2 t2+ 3 2 t  (0＜t＜1) 3 2 t2- 3 2 t     (1＜t＜2)

．

（3）當(dāng)0＜t＜1，（如圖1）過(guò)D作DH⊥y軸，顯然有TB=TE，又∠B=60度，
∴三角形TBE為等邊三角形，
∴BE=TB=t，
∵△SDH∽△STO，設(shè)DH=a，
則有

DH

TO

=

SH

SO

，即

a

1-t

=

3 a+ 3 t

3 t+ 3

，
∴a=

1-t

2

，∴DC=1-t，
∴DE=CB-EB-DC=2-t-（1-t）=1．
當(dāng)1＜t＜2，（如圖2）
同理，△SDH∽△STO，即有

a

t-1

=

3 t- 3 a

3 t+ 3

，a=

t-1

2

，DC=t-1，
∴DE=DC+CE=t-1+（2-t）=1．

點(diǎn)評(píng)：題目主要考查了函數(shù)解析式的確定、等邊三角形的性質(zhì)、圖形面積的解法以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)；后兩題在解答過(guò)程中，一定要注意t的不同取值范圍內(nèi)點(diǎn)T的位置．