Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對角線AC，BD交于點O，AC⊥BD，點E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，若AD=2，BC=4，則四邊形EFGH的面積為

9

2

．

Answer 1

分析：先由三角形的中位線定理求出四邊相等，然后由AC⊥BD入手，判定四邊形EFGH是正方形；然后連接EG，利用梯形的中位線定理求出EG的長，然后結(jié)合（1）的結(jié)論求出EH²=

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2

，也即得出了正方形EHGF的面積．

解答：解：在△ABC中，E、F分別是AB、BC的中點，
故可得：EF=

1

2

AC，同理FG=

1

2

BD，GH=

1

2

AC，HE=

1

2

BD，
在梯形ABCD中，AB=DC，
故AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH是菱形．
在△ABD中，E、H分別是AB、AD的中點，
則EH∥BD，
同理GH∥AC，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
∴四邊形EFGH是正方形．
如圖，連接EG．
在梯形ABCD中，
∵E、G分別是AB、DC的中點，
∴EG=

1

2

（AD+BC）=3．
在Rt△EHG中，
∵EH²+GH²=EG²，EH=GH，
∴EH²=

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2

，即四邊形EFGH的面積為

9

2

．

點評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)及三角形、梯形的中位線定理，解答本題的關鍵是根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出EH=HG=GF=FE，這是本題的突破口．