Question

【題目】如圖，正方形的邊長為， 、、、分別是、、、邊上的動點（不含端點），且、均過正方形的中心．

（1）填空： （“＞”、“＜”、“＝”）；

（2）當(dāng)四邊形為矩形時，請問線段與應(yīng)滿足什么數(shù)量關(guān)系；

（3）當(dāng)四邊形為正方形時， 與交于點，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）;（2）或;（3）.

【解析】試題分析(1) 根據(jù)過正方形的中心,正方形是中心對稱圖形,所以OH=OF;

(2)根據(jù)一線三等角證得∽, ， ,依據(jù)求得x和y的函數(shù)關(guān)系式,從而找到與的數(shù)量關(guān)系.

(3) 當(dāng)四邊形為正方形時，證得∽,得到 ,從而,再證∽,得到,因此當(dāng)最小時，即為垂線段時， 最小，計算即可求出最小值.

試題解析:

（1）

（2）當(dāng)四邊形為矩形時，

∴

在正方形中，

∴

∴

∴∽

∴

令， ，顯然

得到

∴或

∴或

（3）當(dāng)四邊形為正方形時，

∴

∴

∵

∴∽

∴，即

∴

∵,

∴∽

∴即

∴

因此當(dāng)最小時，即為垂線段時， 最小，且等于.

點睛: 本題四邊形綜合問題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行線段的等量代換，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答本題,屬于中考壓軸題．