如圖,在平面直角坐標系中,四邊形OABC為菱形,點C的坐標為(4,0),∠AOC=60°,垂直于x軸的直線l從y軸出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動,設(shè)直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點M、N(點M在點N的上方).
(1)求A、B兩點的坐標;
(2)設(shè)△OMN的面積為S,直線l運動時間為t秒(0≤t≤6),試求S與t的函數(shù)表達式;
(3)在題(2)的條件下,t為何值時,S的面積最大?最大面積是多少?
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分析:(1)已知了菱形的邊長,過A作AD⊥OC于D,在直角三角形OAD中,可根據(jù)OA的長和∠AOC的度數(shù)求出OD和AD的長,即可得出A點坐標,將A的坐標向右平移4個單位即可得出B點坐標.
(2)當(dāng)l過A點時,ON=OD=2,因此t=2;當(dāng)l過C點時,ON=OC=4,此時t=4.因此本題可分三種情況:
①當(dāng)0≤t≤2時,直線l與OA、OC兩邊相交,此時ON=t,MN=
3
t,根據(jù)三角形的面積公式即可得出S,t的函數(shù)關(guān)系式.
②當(dāng)2<t≤4時,直線l與AB、OC兩邊相交,此時三角形OMN中,NM的長與AD的長相同,而ON=t,由此就不難得出S,t的函數(shù)關(guān)系式.
③當(dāng)4<t≤6時,直線l與AB、BC兩邊相交,可設(shè)直線l與x軸交點為H,那么三角形OMN可以MN為底,OH為高來計算其面積.OH的長為t,而MN的長可通過MH-NH來求得,其中,MH可用OH和∠MOH的正切值求出,HN可用CH的長和∠BCH的正切值求出.據(jù)此可得出關(guān)于S,t的函數(shù)關(guān)系式.
(3)根據(jù)(2)中各函數(shù)的性質(zhì)和各自的自變量的取值范圍可得出S的最大值及對應(yīng)的t的值.
解答:解:(1)∵四邊形OABC為菱形,點C的坐標為(4,0),
∴OA=AB=BC=CO=4.
過點A作AD⊥OC于D.
∵∠AOC=60°,
∴OD=2,AD=2
3

∴A(2,2
3
),B(6,2
3
).(3分)

(2)直線l從y軸出發(fā),沿x軸正方向運動與菱形OABC的兩邊相交有三種情況:
①0≤t≤2時,直線l與OA、OC兩邊相交,(如圖①).
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∵MN⊥OC,
∴ON=t.
∴MN=ONtan60°=
3
t.
∴S=
1
2
ON•MN=
3
2
t2.(4分)
②當(dāng)2<t≤4時,直線l與AB、OC兩邊相交,(如圖②).
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S=
1
2
ON•MN=
1
2
×t×2
3
=
3
t.(6分)
③當(dāng)4<t≤6時,直線l與AB、BC兩邊相交,(如圖③).
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設(shè)直線l與x軸交于點H.
∵MN=2
3
-
3
(t-4)=6
3
-
3
t,
∴S=
1
2
OH•MN=
1
2
t(6
3
-
3
t)
=-
3
2
t2+3
3
t.

(3)由(2)知,當(dāng)0≤t≤2時,S最大=
3
2
×22=2
3
,
當(dāng)2<t≤4時,S最大=4
3
,
當(dāng)4<t≤6時,配方得S=-
3
2
(t-3)2+
9
3
2

∴當(dāng)t=3時,函數(shù)S=-
3
2
t2+3
3
t的最大值是
9
3
2

但t=3不在4<t≤6內(nèi),
∴在4<t≤6內(nèi),函數(shù)S=-
3
2
t2+3
3
t的最大值不是
9
3
2

而當(dāng)t>3時,函數(shù)S=-
3
2
t2+3
3
t隨t的增大而減小,
∴當(dāng)4<t≤6時,S<4
3

綜上所述,當(dāng)t=4時,S最大=4
3
點評:本題為運動性問題,考查了菱形的性質(zhì)、圖形面積的求法、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識.
考查學(xué)生分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)數(shù)形方法.
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(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標.

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5
29
5
29

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5
5

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k
x
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k
x
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